Gesiebte Primzahlen

Nach dem Mittagessen blieb ich noch ein bisschen am Tisch sitzen. Da kam meine Tochter Maria zu mir und fragte doch tatsächlich: „Sag‘ mal, wie ist das eigentlich mit den Primzahlen?“

Ich traute meinen Ohren nicht. „Was meinst du? Was Primzahlen sind, weißt du doch.“

„Klar, Zahlen wie 3, 5, 7 und auch deine Lieblingsprimzahl 2.“

Ich ergänzte die Definition: „Eine Zahl, die größer als 1 ist, wird dann eine Primzahl genannt, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.“

Maria hatte gar nicht zugehört: „Die ersten sind ja einfach. Aber dann wird es immer schwieriger.“

„Was meinst du damit?“

„Na ja, wenn du eine kennst, kennst du noch lang nicht die nächste! Es wäre doch schön zu wissen, was zum Beispiel die Primzahl ist, die nach 23 kommt.“

Das musste ich zugeben. „Du hast recht, dafür gibt es keine Formel. Aber wenn du nicht nur die nächste Primzahl wissen willst, sondern sozusagen alle Primzahlen, dann gibt es eine Methode.“

„Und wie geht die?“

„Nehmen mir mal an, wir suchen die Primzahlen bis …“

„… bis 50″, fiel sie mir ins Wort.

„Gut. Wenn wir die Primzahlen bis 50 rausbekommen wollen, dann schreiben wir sie erst mal auf.“

Maria nahm sich ein Blatt und notierte die Zahlen bis 50. In die erste Zeile schrieb sie die Zahlen 1 bis 10, in die nächste Zeile 11 bis 20 und so weiter. Sie betrachtete ihr Werk und sagte: „Die 1 ist schon mal keine Primzahl, also streichen wir sie durch.“

„Aber die 2. Die ist eine Primzahl.“ Maria kringelte sie ein.

Ich stellte eine schwierige Frage: „Wenn wir wissen, dass 2 eine Primzahl ist, dann wissen wir schon mal von einigen Zahlen, dass sie keine Primzahlen sein können. Nämlich von welchen?“

Marias Gesicht war ein einziges Fragezeichen.

„Schau mal: das Doppelte von 2, also 4. Das Dreifache von 2, also 6. Können das Primzahlen sein?“

„Die können natürlich keine Primzahlen sein, weil sie durch 2 teilbar sind. Ich streich die mal durch!“ Sie strich die Zahlen 4, 6, 8 und so weiter durch.

„Das sieht eigentlich ganz nett aus“, sagte sie, „ein Muster.“

„In der Mathematik nennen wir das ein Sieb. Es wird durchgesiebt: Die Zweierzahlen bleiben hängen, und die anderen fallen durch.“

„Da bleiben …“, sie zögerte und schaute die Zahlen an. „Es bleiben nicht nur Primzahlen übrig.“

„Nein, sondern die, die im Augenblick noch die Chance haben, eine Primzahl zu sein.“

„Die nächste Primzahl ist die 3″, machte sich Maria ans Werk und kringelte sie ein.

„Welche Zahlen können wir jetzt aussieben?“

„Als nächstes kommt das Dreiersieb. Ich streiche die Zahlen 6, 9, 12, und so weiter.“

„Nun sind nur noch die Zahlen übrig, die beim Zweiersieb und beim Dreiersieb durchgekommen sind.“

Maria stellte fest: „Jetzt sind schon ganz schön viele Zahlen weg. Es sind fast keine mehr übrig.“

Und sie wusste, wie es weiterging. Sie kreiste die 5 ein und strich alle Vielfachen von 5 durch.

Maria sprach vor sich hin: „Die 7 ist die nächste Primzahl. Mal sehen, welche Zahlen ich streichen muss.“ Sie ging die Vielfachen von 7 durch: „Ich muss nur die 49 streichen.“

Kurz entschlossen umkringelte Maria alle restlichen Zahlen und sagte lapidar: „Die Primzahlen!“

Ich fragte nach: „Warum müssen wir keine Zahlen mehr streichen?“

„Weil schon alle gestrichen sind!“

„Das kann man noch genauer sagen: Das erste Vielfache von 11, das noch nicht gestrichen ist, ist 11 mal 11, also 121. Denn alle kleineren Vielfachen, das heißt 22, 33, 44 und so weiter, sind durch 2, 3, 5 oder 7 teilbar.“

Maria hatte gar nicht mehr zugehört. Sie nahm ihr Blatt – und weg war sie.