Das glaube ich nicht
Vor einigen Wochen besuchte ich meine Kollegin Luigia. Sie ist Professorin an einer italienischen Universität. Wir kommen immer schnell auf die Mathematik zu sprechen, auch wenn wir nur in der Sonne sitzen, das italienische Essen genießen und einen Kaffee trinken. Dabei kam mir schon öfters der Verdacht, dass Luigia auf etwas Bestimmtes hinaus will.
Als wir auf der Terrasse saßen und den süßen Kaffee schlürften, kritzelte ich gedankenverloren auf ein Blatt Papier. Plötzlich sah Luigia auf und fragte: „Was malst du da?“
Ich war mir keiner Schuld bewusst und schaute auf das Blatt.
„Questo è un codice“, sagte sie bestimmt und deutete auf die drei ineinander verschlungenen Kreise. Das sollte ein Code sein? Ich hatte keine Ahnung, was sie meinte.
Das merkte Luigia, machte eine Pause und redete dann mit mir wie mit einem Kind: „Wie viele Gebiete bilden die drei Kreise?“
Ich zählte nach und kam auf sieben. Sie sagte nichts, sondern schrieb in die Gebiete die Zahlen 1 bis 7.
„Das wird ein Code, bei dem jedes Codewort aus sieben Bits besteht.“
Das konnte ich mir vorstellen: Sieben Bits, das waren sieben Nullen und Einsen hintereinander. Ich wollte schon anfangen zu schreiben, da unterbrach sie mich wieder. Sie hatte heute ganz offenkundig ihren energischen Tag.
„Der Code besteht nicht aus allen Kombinationen der sieben Bits, sondern nur aus ganz bestimmten.“
„Welchen?“, fragte ich nicht sehr intelligent.
„Wir stellen uns vor, dass wir in jedes der sieben Felder ein Bit schreiben und nehmen eine solche Kombination nur dann in unseren Code auf, wenn in jedem der drei Kreise eine gerade Anzahl von Einsen steht. Also entweder null Einsen oder zwei oder vier“, erklärte sie, da sie merkte, dass es schwierig war.
Jetzt war ich dran, das war klar. Als Mathematiker kamen mir zuerst die Sonderfälle in den Sinn: „Zum Beispiel sieben Nullen, dann enthält jeder Kreis null Einsen, also eine gerade Zahl.“
„Ja“, bestätigte sie, „und lauter Einsen geht auch. Dann enthält jeder Kreis vier Einsen, auch eine gerade Zahl.“
Ich hatte es verstanden: „Man kann auch einfach in den ersten Kreis vier Einsen schreiben. Dann haben die anderen Kreise automatisch zwei Einsen. Das bedeutet, 1101100 ist ein Codewort.“
„Ja“, bestätigte sie wieder, „diese Kombination hat an den Stellen 1, 2, 4 und 5 eine Eins. Ein weiteres Beispiel ist die Kombination, die an den Stellen 3, 4 und 5 eine Eins hat, also 0011100. Insgesamt“, sagte sie, „gibt es genau 16 solche Kombinationen.“
Aber sie hatte noch einen Trumpf im Ärmel: „Warum nennen wir das einen Code?“ Ich war von den Kombinationen so fasziniert, dass ich am liebsten alle aufgestellt hätte. „Wenn du alle Kombinationen aufschreiben würdest“ – Gedanken lesen konnte sie offenbar auch –, „würdest du merken, dass sich je zwei dieser Kombinationen an mindestens drei Stellen unterscheiden.“
„Also nicht nur an einer oder zwei?“
„Genau. Zum Beispiel gibt es keine Kombination, die nur eine Eins oder nur zwei Einsen hat.“ Klar, weil die Kombination mit lauter Nullen ja dazu gehört.
Luigia erklärte: „Bei der Nachrichtenübertragung macht man das so. Man ordnet jedem Zeichen eine solche Kombination zu. Bei unserem Code hat man eben nur 16 Zeichen“, kam sie meinem Einwand zuvor.
„Nun kann bei der Übertragung ein Fehler passieren, das heißt, ein Bit könnte von null nach eins kippen oder umgekehrt.“
„Das wäre schlecht“, warf ich schnell ein.
„Schlecht vielleicht, aber nicht schlimm“, erwiderte sie siegessicher, „denn man decodiert dann einfach das Codewort, das sich nur an einer Stelle von dem empfangenen unterscheidet. Man sagt, dass man mit diesem Code einen Fehler korrigieren kann.“
„Genial“, musste ich zugeben und trank den letzten Schluck Kaffee.
