Eine Formel Für Primzahlen?

Jeden Herbst besuche ich meinen Freund Franco in Italien. Dort arbeiten wir tagsüber im Mathematischen Institut der Universität. Nur zu gerne unterbrechen wir unsere Arbeit, um an der Bar ein Glas Wein zur Erfrischung zu trinken. In Wirklichkeit ist das aber keine Unterbrechung, sondern nur die Verlagerung der Diskussion in eine andere Umgebung.

Der Cameriere brachte die Gläser mit dem kühlen Weißwein und stellte sie auf zwei Bierdeckel. Nach dem ersten Schluck fragte Franco: „Was ist das größte Geheimnis der Primzahlen?”

„Wie man sie findet”, antwortete ich. „In der Regel sucht man sich zufällig eine Zahl und testet dann, ob sie eine Primzahl ist. Wenn sie keine ist, nimmt man die nächste.”

„Was man bräuchte, wäre eine Formel für Primzahlen. Ein bisschen multiplizieren und addieren, und schon hat man sie.”

Ich lachte: „Klar, das wollen alle. Aber so eine Formel hat noch keiner gefunden.”

Franco nahm wieder einen Schluck und fragte dann: „Wie lauten denn die ersten Primzahlen?” Das war so betont beiläufig, dass klar war, dass er einen Trick präsentieren wollte. Ich ging darauf ein: „Primzahlen sind die Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Also 2, 3, 5, 7, 11 und so weiter.”

„Gut. Wir teilen diese Zahlen jetzt unter uns auf und schreiben sie auf unsere Bierdeckel.”

Keine Ahnung, worauf er hinauswollte, aber ich machte mit: „ Ich nehme die 2, die 5 und die 7″, und schrieb die Zahlen auf meinen Deckel. „Dann nehme ich den Rest”, sagte Franco und schrieb 3 und 11 auf seinen Deckel.

„Jetzt multipliziert jeder die Zahlen auf seinem Bierdeckel.”

Ich rechnete – 2 mal 5 mal 7 gleich 70 – und schrieb das Ergebnis auf, Franco schrieb entsprechend 33 auf seinen Deckel. „ Nennen wir deine die A-Zahl und meine die F-Zahl, wie Franco.”

Nach einem weiteren Schluck Wein sagte er: „Egal, wie wir die Primzahlen aufgeteilt haben, ist es so, dass A plus F und A minus F Primzahlen sind!”

Die Überraschung war ihm gelungen. Ich prüfte es an unserem Beispiel: 70 minus 33 ist 37 – eine Primzahl –, und 70 plus 33 ist 103, auch eine Primzahl. „Wow!”

„Dass sich dabei immer Primzahlen ergeben, hängt von zwei Tatsachen ab”, erklärte Franco. „Zum einen ist es so, dass die Zahl, die rauskommt, durch keine der Primzahlen, die auf unseren Bierdeckeln steht, teilbar ist.”

Ich überlegte: „Klar, jede Zahl auf meinem Bierdeckel teilt die A-Zahl, aber nicht die F-Zahl. Also teilt sie weder die Summe noch die Differenz von A und F.”

Franco bestätigte: „Genau. In A plus F und in A minus F stecken nur neue Primzahlen.”

Mein Einwand kam prompt: „Dann könnten diese Zahlen aber auch ein Produkt aus mehreren der neuen Primzahlen sein. Und dann müssten wir doch ausprobieren, welches die Teiler sind.”

„Du hast recht”, bestätigte Franco, „genau das wollen wir vermeiden.”

„In unserem Beispiel war es ja auch so, dass direkt Primzahlen herauskamen”, ergänzte ich.

„Das ist die zweite Tatsache, beziehungsweise eine gewisse Einschränkung”, druckste Franco. „Wir berücksichtigen nämlich nur solche Zahlen, die nicht zu groß sind.”

„Was soll das heißen?”

„Das kriegen wir so raus”, war er wieder ganz sicher: „Wenn A plus F keine Primzahl ist, dann ist sie ein Produkt von Primzahlen, und zwar von lauter Primzahlen, die nicht auf unseren Bierdeckeln stehen. Nennen wir die größte Primzahl auf unseren Bierdeckeln P. Dann ist jede Primzahl, die in A plus F aufgeht, größer als P. Da es mindestens zwei sind, müsste A plus F größer als P mal P sein.”

„Und jetzt drehen wir das Argument um”, sagte Franco triumphierend: „Wenn A plus F und A minus F kleiner als P mal P ist, dann müssen das Primzahlen sein.”

Ich dachte an unser Beispiel: „Dort war P gleich 11, also P mal P gleich 121. Da A plus F gleich 103, also kleiner als 121, ist, wissen wir sicher, dass das eine Primzahl ist!”