Das Preisrätsel für Denker

Ich wandere leidenschaftlich gerne, doch für meine Familie ist eine Wanderung nur eine langweilige und überflüssige Anstrengung. So habe ich in der Regel nur die Wahl, entweder alleine am Wochenende durch Wald und Feld zu streifen oder mit meiner Familie die Freizeit auf andere Weise zu verbringen.

Am letzten Sonntag jedoch habe ich mich durchgesetzt: “Heute machen wir eine Wanderung um den Isterberg.” Nach dem Essen setzten wir uns ins Auto und fuhren zu dem Parkplatz am Fuße des Isterberges, wo der Rundwanderweg beginnt und endet. “Wollt ihr lieber links- oder rechtsherum?” fragte ich. Die Kinder entschieden sich für links, und um genau zwei Uhr machten wir uns auf den Weg. Das Wetter war schön, und nach und nach besserte sich die Stimmung meiner Frau und meiner Kinder – schließlich hatten wir alle unseren Spaß an der Wanderung.

Wir waren schon eine ganze Weile unterwegs, als uns die Schuberts entgegenkamen. Familie Schubert wohnt in unserer Nachbarschaft, und wir sind miteinander befreundet. “Wollen wir gemeinsam weiterwandern?” fragte Sigi Schubert. Da aber keiner denselben Weg zurückgehen wollte, entschieden wir uns dafür, getrennt weiterzugehen. Als wir um vier Uhr erschöpft, aber gut gelaunt wieder den Parkplatz erreichten, kamen im selben Augenblick auch die Schuberts von der anderen Seite an. Wir setzten uns alle auf eine Bank, und ich verteilte die Reste des Proviants aus meinem Rucksack. “Wißt ihr noch, wie spät es war, als wir uns unterwegs getroffen haben?”, wollte meine Frau wissen.

Sigis Frau und ich schüttelten den Kopf, und Sigi meinte: “Ich kann mich nur noch daran erinnern, daß wir um ein Uhr hier auf dem Parkplatz gestartet sind.” Auf der Rückfahrt mußte ich wieder an die Frage meiner Frau denken. Sollte es nicht möglich sein, die Uhrzeit des Treffens zu berechnen, wenn man annahm, daß beide Familien mit konstanten Geschwindigkeiten gewandert waren? Aber ich fand keine Antwort. Wissen Sie, um wieviel Uhr das Treffen stattfand?

Die Lösung des Juli-Cogitos: Die Figur enthält zwar verblüffend viele Dreiecke, aber es ist nicht allzu schwer, sie systematisch zu zählen. Um es möglichst einfach zu haben, entfernt man in Gedanken zunächst einmal die Verbindungslinie zwischen den beiden Ecken A und B. Jedes Dreieck dieser Figur wird von zwei Linien begrenzt, die in A beginnen, und von einer, die in B beginnt, oder umgekehrt, von zwei Linien, die in B beginnen, und einer, die in A beginnt. Da von A insgesamt 5 Linien ausgehen, kann man daraus 1/2 x 5(5 – 1) = 10 verschiedene Linienpaare bilden. Zusammen mit den 5 Linien, die in B beginnen, ergibt dies 10 x 5 = 50 Dreiecke. Auch aus den Linienpaaren, die von B ausgehen, entstehen 50 Dreiecke, so daß man nun insgesamt 100 Dreiecke hat. Jetzt fügt man die zunächst entfernte Linie AB wieder ein. Jede von A ausgehende Linie bildet mit jeder von B ausgehenden Linie über AB ein Dreieck. Dadurch kommen noch 5 x 5 = 25 Dreiecke hinzu. Insgesamt enthält die Figur also 125 Dreiecke.

Heinrich Hemme