Wir machen's wie die Bienen

Bienenwaben gehören zu den schönsten Strukturen der Natur. Jede Zelle einer Wabe schmiegt sich perfekt an die anderen, es bleibt kein noch so kleiner Zwischenraum frei. Jede Zelle einer Wabe ist ein Sechseck. Nicht irgendein Sechseck, sondern ein reguläres: Alle Strecken sind gleich lang und alle Winkel gleich groß.

Warum verwenden die Bienen ausgerechnet Sechsecke? Warum keine Dreiecke oder Quadrate – die wären leichter zu konstruieren? Warum keine Fünfecke – dann müßten sie nur bis fünf zählen? Oder wenn schon große Zahlen, warum kein Achteck – das ist doch auch schön? Auf diese Fragen gibt es klare mathematische Antworten. Eine offensichtliche Vorgabe ist, daß die Zellen der Waben lückenlos aneinander passen müssen. Mathematiker nennen eine lückenlose und überschneidungsfreie Überdeckung der Ebene durch irgendwelche Teile ein Parkett beziehungsweise eine Pflasterung. Aus welchen regulären Vielecken kann man die Ebene parkettieren? Jeder kennt das Parkett aus Quadraten: Wir finden es im Badezimmer, und kariertes Papier ist ein Beispiel für ein Quadratparkett. Die Waben ergeben ein Parkett aus regulären Sechsecken, und ein Parkett aus gleichseitigen Dreiecken ist ganz leicht herzustellen – zu sehen ist es zum Beispiel auf einem Halmabrett.

Die erste Antwort der Mathematiker auf die Bienenwaben- Frage lautet: Dies sind bereits alle Parkette aus regulären n-Ecken. Wenn Sie also Ihr Badezimmer mit regulären n-Ecken auslegen möchten, können Sie das nur mit Dreiecken, Quadraten oder Sechsecken machen. Warum? Ganz einfach: Mit den anderen regulären Vielecken kann man nicht einmal richtig beginnen, ein Parkett zu legen, man scheitert schon beim ersten Schritt. Zum Beispiel geht es nicht mit Fünfecken. Ein reguläres Fünfeck hat in jeder Ecke einen Winkel von 108 Grad. Wenn man drei Fünfecke an einer Ecke zusammenlegt, bleibt eine Lücke, wenn man vier zusammenlegt, überlappen sie sich. Und wenn man’s mit Siebenecken, Achtecken oder noch größeren Teilen versucht, schafft man nicht einmal, drei Teile an einer Ecke ohne Überschneidungen zusammenzulegen.

Warum wählen die Bienen Sechsecke und nicht Dreiecke oder Quadrate? Auch da gibt es eine mathematische Antwort: Die Waben dienen der Aufzucht des Bienennachwuchses. Eine Larve kann in erster Näherung von oben betrachtet als kreisförmig aufgefaßt werden. Unter den Wabenformen ist das Sechseck die „rundeste“, hier haben die Larven am besten Platz. Die Theorie der Parkette ist eine lebendige Disziplin der Mathematik. Darin wird – unter anderem – untersucht, mit welchen Steinen man die Ebene pflastern kann. Zum Beispiel mit jedem Dreieck. Dazu muß man das Dreieck nur um den Mittelpunkt einer Seite drehen, das ursprüngliche Dreieck ergibt zusammen mit dem gedrehten ein Parallelogramm, und mit diesem kann man die Ebene natürlich pflastern. Ebenso geht es mit jedem beliebigen Viereck.

Bei Fünfecken und Sechsecken wird es schwieriger, das heißt interessanter, denn man kann nicht mit jedem Fünfeck oder Sechseck die Ebene überdecken. Also muß man diejenigen herausfinden, mit denen das geht …

Albrecht Beutelspacher