Regenbogen und Tautropfen

Meinen Bogen habe ich gesetzt in die Wolken, der soll das Zeichen sein des Bundes zwischen mir und der Erde.” So sprach Gott zu Noah nach der Sintflut. Wo der bunte Bogen erscheint, sind also schon nach diesem Bericht im Alten Testament (1. Buch Mose, Kapitel 9, Vers 13) die Wolken nicht weit. Der Regenbogen ist ein geheimnisvolles Schauspiel der Natur, von dem viele Mythen der Völker und die ältesten Dichtungen erzählen.

Außer den Wolken gehört zu einem Regenbogen auch die Sonne, aber man sieht nie beide zugleich: Wer den Regenbogen anschaut, dem wärmt die Sonne den Rücken.

Facettenspiegel: Aristoteles (384 bis 322 v. Chr.) stellte die Hypothese auf, der Regenbogen entstehe durch eine ungewöhnliche Spiegelung der Sonne an den Tröpfchen der Wolken. Sie gebe jedoch nicht die Form der Dinge, sondern nur ihre Farbe wieder. Regenbögen sind verfremdete Spiegelbilder der Sonne in dem Zauberspiegel, den die Millionen und Abermillionen Wassertröpfchen einer Regenwolke bilden.

Aber der Spiegel besitzt keine einheitliche Oberfläche, er besteht aus lauter einzelnen Regentropfen, die sogar in einer dichten Wolke Abstände von hundert Tropfendurchmessern und mehr haben. Sie fallen infolge ihres Gewichts zur Erde wie ein Schauer, doch für das Licht, das sich viele Millionen mal schneller durch den Raum fortpflanzt, scheinen sie am Ort festzustehen.

Wenn wir nichts Genaues über die Gestalt und die Größe der Tropfen in der Wolke wissen, müssen wir Annahmen treffen, die wir günstigenfalls nachträglich überprüfen können. Sind die Tropfen so klein, daß die Oberflächenspannung sie kugelförmig macht, aber groß gegen die Wellenlängen des sichtbaren Lichts, dürfen wir die Ausbreitung des Lichts in der Wolke durch Strahlen beschreiben und seine Wellennatur vorübergehend vergessen. In dieser Näherung wirken die Tropfen unabhängig von ihrer Größe auf das Licht, und es genügt, stellvertretend für die Wolke einen einzigen Kugeltropfen zu studieren.

Diese Erkenntnis wurde 17 Jahrhunderte nach Aristoteles durch den Mönch Dietrich von Freiberg (gestorben 1310) begründet. Revolutionär für das Denken des Mittelalters experimentierte er, und zwar mit einem wassergefüllten Rundkolben (einer kugelförmigen Flasche) als einem gewaltig vergrößerten Regentropfen, mit dem er die Farben des Regenbogens erzeugte. Er postulierte den Regenbogen als die Summe der Wirkungen der einzelnen Tropfen einer Wolke.

Es vergingen weitere 300 Jahre, bis 1637 René Descartes (1596 bis 1650) in seinem berühmten “Discours de la Méthode” die erste Theorie des Regenbogens vorstellte. Er berechnete – wenn man den Berichterstattern glauben darf – die Brechung und Reflexion von nicht weniger als 10000 Lichtstrahlen an einem Tropfen und bestimmte diejenigen Richtungen, in denen sich die Strahlen verdichten (man muß wissen, daß es damals noch nicht die Hilfe der Differentialrechnung gab, Maxima und Minima oder Brennstrahlen [Kaustiken] analytisch zu bestimmen). Dabei erkannte er, daß zwar viele Lichtstrahlen das Auge erreichen, die beiden hauptsächlichen Regenbögen aber nur durch solche Strahlen hervorgerufen werden, die ins Innere des Tropfens gebrochen und darin ein- beziehungsweise zweimal an der Oberfläche gespiegelt werden, ehe sie den Tropfen unter nochmaliger Brechung verlassen. Die Brechkraft des Wassers, gemessen durch den Brechungsindex, hängt von der Farbe des Lichtes ab. Rot wird am wenigsten, violett am stärksten gebrochen. So entstehen aus weißem Licht die Regenbogenfarben.

Fragen zum Regenbogen: Bevor ich mehr über den Hauptregenbogen erzähle, den man am häufigsten sieht, über den Nebenregenbogen, der höher am Himmel steht, und über die unterhalb des Hauptregenbogens manchmal sichtbaren “überzähligen Bögen” oder “Interferenzbögen”, noch einige Fragen: Warum erscheint der Regenbogen kreisrund? Welchen Durchmesser hat der Bogen? Wo befindet sich der Regenbogen? Zur ersten Frage, die schon Aristoteles beantwortete: Alle Tropfen der gleichen Form streuen paralleles Licht in gleicher Weise, wo auch immer sie sich am Himmel befinden. Wenn die Tropfen eine Farbe, zum Beispiel rot, unter einem bestimmten Winkel gegen den Sonnenstrahl (beim Hauptregenbogen ungefähr 138 Grad) abstrahlen, müssen alle Tropfen, die die gleiche Farbe in unser Auge senden, auf unserem Sichtkegel, einem Kreiskegel vom halben Öffnungswinkel 180 – 138 = 42 Grad, zu finden sein, an dessen Spitze wir selbst stehen und dessen Achse der Lichtstrahl von der Sonne zu uns ist.

Der Regenbogen, den wir sehen, ist unser persönlicher: Wer neben uns steht, sieht einen etwas anderen Bogen, dessen Licht von anderen Regentropfen kommt. Ein einziger fallender Tropfen kann im Laufe von Sekunden nacheinander alle Regenbogenfarben von rot bis violett in unser Auge schicken.

Die Antwort auf die zweite Frage ähnelt der nach den wahren Orten der Sterne, die sich am Nachthimmel eindrucksvoll zu einem Sternbild ordnen, zum Beispiel dem Orion oder der Kassiopeia. Der Astronom beobachtet nur ihre Positionen auf einer Himmelskugel, in deren Mitte er sich vermutet. Scheinbar benachbarte Sterne des Sternbilds können jedoch Entfernungen von der Erde haben, die sich um Hunderte von Lichtjahren unterscheiden.

Mancher Regenbogen, den ein Beobachter in weiter Ferne sieht, kommt von einer Wolke aus wenigen 100 Metern Entfernung. Das kann kaum überraschen, kennt man doch künstliche Regenbögen im Sprühregen eines Springbrunnens oder einer Freibaddusche, die nur dort entstehen können, wo die Tropfen hingelangen.

Der Regenbogen in den Tautropfen eines ebenen Grasteppichs (kurz: Taubogen) läßt sich genauer orten. Seine Farben entstehen dort, wo sich der Sichtkegel mit der Bodenebene schneidet. Wir sehen ihn daher als Kegelschnitt, im allgemeinen als eine zu uns gewölbte Hyperbel. In Marcel Minnaerts Buch “Licht und Farbe in der Natur” (Basel, 1992) findet man die Zeichnung eines solchen Taubogens.

Noch eine letzte Frage, die sich rasch beantworten läßt: Warum sieht man Regenbögen vorzugsweise am Morgen oder am Abend und im Sommer seltener als im Frühjahr oder Herbst?

Der Hauptregenbogen, dessen Farbe durch Ablenkung des Sonnenlichts um etwa 138 Grad zustande kommt, sinkt unter den Horizont, wenn die Sonne höher als 42 Grad steigt. Am hellen Tage sehen wir höchstens flache Regenbögen am Horizont. Nur am Morgen oder Abend, wenn die Sonne niedrig steht, bilden Regenbögen annähernd einen Halbkreis. Von hohen Bergen oder aus dem Flugzeug muß man auch Regenbögen sehen können, die volle Kreise bilden, aber ich hatte noch keine Gelegenheit dazu.

Strahlengänge im Tropfen: Gemessen am Tropfendurchmesser ist die Sonne unendlich weit entfernt, die Sonnenstrahlen fallen daher parallel auf den Tropfen und beleuchten seinen kreisförmigen Schatten (oder “Streuquerschnitt”) bei unverhüllter Sonne gleichmäßig. Das Streulicht eines kugelförmigen Tropfens verteilt sich kreissymmetrisch zu dem Sonnenstrahl, der durch seinen Mittelpunkt geht und die “optische Achse” bildet. Alle Lichtstrahlen, die in unser Auge gelangen, bleiben auf ihren Wegen von der Sonne durch den Tropfen in der Ebene des Dreiecks, das von der Sonne, dem Mittelpunkt des Tropfens und dem Auge gebildet wird. Sie schneidet den Tropfen in einem größten Kreis, der alle genannten Strahlen enthält.

Bei ihrem Durchgang durch den Tropfen erleiden die Lichtstrahlen Richtungsänderungen um den Winkel j – j’ bei jeder der beiden Brechungen und um p – 2j’ bei jeder Reflexion. j und j’ bedeuten Einfalls- und Brechungswinkel, für die nach dem Snelliusschen Gesetz gilt sinj = n sinj’. n ist der Brechungsindex des Wassers gegenüber Luft (n = 1,33 für rot, n = 1,34 für violett). Für den von Descartes beschriebenen Hauptregenbogen kommen nur die Strahlen dritter Ordnung (Abbildung links: 3) in Betracht. Ihre Richtungsänderung im Tropfen ist d = p + 2j – 4j’ oder, ausgedrückt durch den auf den Tropfenradius r bezogenen Abstand x von der Achse, den “Stoßparameter” z = x/r = sinj:

d = p + 2 arcsin z – 4 arcsin(z /n).

Nun stehen wir vor der entscheidenden Frage: Zahlreiche Strahlen gelangen nach zwei Brechungen und ein oder zwei Reflexionen ins Auge, aber wo zeigen sich die Farben? Wie Descartes geben wir darauf eine plausible Antwort: Es sind die Richtungen, in denen sich die Lichtstrahlen am meisten verdichten. Wir suchen sie dort, wo ihre Richtungen d sich am wenigsten mit dem Stoßparameter ändern, das heißt beim größten oder kleinsten Wert von d. Er wird durch die Bedingung dd/dz = 0 gegeben, die für z = ±Ö(4 – n2)/3 erfüllt ist. Da der Rückstreuwinkel für den Hauptregenbogen zwischen 90 und 180 Grad liegt, kommt nur das positive Vorzeichen der Wurzel in Betracht, und man errechnet den roten Bogen bei z = 0,862 und d = 137,5 Grad. Das Rot erscheint also auf einem Sichtkegel von etwa 42,5 Grad Öffnungswinkel, der den Sonnenstrahl zum Auge des Betrachters als Achse hat.

Die Lage des Nebenregenbogens, der von den Strahlen vierter Ordnung (4) mit zwei Spiegelungen gebildet wird, ergibt sich analog. Die Bedingung für die extremalen Lichtstrahlen hat die Lösung z = ± Ö(9 – n2)/8. Für den Nebenregenbogen liegt der Rückstreuwinkel zwischen -180 und -270 Grad (Winkel im Uhrzeigersinn negativ gerechnet). Deshalb ist das Minuszeichen der Wurzel richtig, und man findet den roten Bogen bei z = -0,950 und d = -230,1 Grad.

Beim Nebenregenbogen erscheint das Rot also auf einem Sichtkegel mit etwa 50 Grad Öffnungswinkel. Bei genauerem Studium der Lichtstrahlen zeigt sich, daß nicht die Extrema der Ablenkung der Strahlen die Lage der Regenbögen bestimmen, sondern Brennstrahlen (Kaustiken) in ihrer unmittelbaren Nähe, die durch Überschneidung von Lichtstrahlen entstehen.

Der Hauptregenbogen liegt beim größten Ablenkungswinkel der Strahlen dritter Ordnung, der Nebenregenbogen etwas höher am Himmel beim kleinsten Ablenkungswinkel der Strahlen vierter Ordnung. In das Gebiet des Himmels zwischen den beiden Regenbögen fallen deshalb keine Strahlen der dritten und vierten Ordnung. Dieser Umstand liefert eine plausible Erklärung für die Dunkelheit dieses Streifens, der nach Alexander von Aphrodisias (um 200 n. Chr.) Alexanders dunkles Band heißt.

Die Farben von rot bis violett erscheinen im Hauptregenbogen und im Nebenregenbogen in umgekehrter Reihenfolge. Das läßt sich durch Verfolgung der Strahlengänge einsehen, eine einfachere Erklärung weiß ich dafür nicht. Sieben Farben, rot – orange – gelb – grün – blau – indigo – violett, hat der Regenbogen im Volksmund, aber wohl nur wegen der magischen Siebenzahl.

Nun läßt sich verständlich machen, warum sogenannte überzählige Regenbögen, zum Beispiel in Rosa und Grün, entstehen können. Zu ihrer Erklärung reicht die Beschreibung des Lichtes durch Strahlen nicht aus. Unmittelbar unter den Hauptregenbogen und direkt über den Nebenregenbogen werden fast parallele Lichtstrahlen aus der unmittelbaren Nachbarschaft der Strahlen des normalen Regenbogens gestreut. Sie haben im Tropfen unterschiedlich lange optische Wege zurückgelegt, und ihr Licht wird infolge seiner Wellennatur je nach Gangunterschied durch Interferenz verstärkt oder ausgelöscht. Da der Gangunterschied der Lichtwellen empfindlich vom Verhältnis der Lichtwellenlänge zur Größe der Tropfen abhängt, variieren diese Regenbögen stark mit der Tropfengröße und der Farbe des Lichtes.

Tautropfen im Sonnenstrahl: Keine Verwendung haben wir beim Regenbogen für die Strahlengänge erster und zweiter Ordnung. Der von der äußeren Tropfenoberfläche reflektierte Lichtstrahl (1) bleibt bei der Spiegelung weiß. Der durch den Tropfen hindurchgebrochene Lichtstrahl (2) erzeugt höchstens einen Regenbogen auf der Sonnenseite, der von denselben Wolken verschluckt wird, denen er sein Entstehen verdankt. Beide Strahlen kommen unerwartet bei einer ganz anderen Naturerscheinung zur Geltung: dem Glitzern der Tautropfen.

Auf einem Tautropfen im Sonnenlicht erscheinen zwei Lichtpunkte, einer vom gespiegelten Strahl (1) und einer vom durchgehenden Strahl (2). Der Spiegelpunkt ist daran zu erkennen, daß er über die beleuchtete Hälfte der Tropfenoberfläche wandert, wenn sich das Auge des Beobachters um den ganzen Tropfen herumbewegt. Der gebrochene Strahl tritt weit außen in den Tropfen ein und auf der Schattenseite näher an der optischen Achse wieder aus. Der in den Regenbogenfarben blitzende Lichtpunkt am Austrittsort verschwindet, wenn man an der Eintrittsstelle ein etwas größeres Gebiet beschattet, als der Strahl beim Austritt beleuchtet. Offensichtlich wirkt die Kugellinse wie ein Brennglas und verdichtet das Strahlenbündel.

Wem es zu mühsam ist, mit einem Wassertropfen zu experimentieren, der kann die Erscheinung ersatzweise an einer klaren Glaskugel beobachten. Wegen des höheren Brechungsindex von Glas (n = 1,60) wird das Licht in einer Glaskugel stärker zur Achse hin gebrochen als in einem Wassertropfen.

Die Fortsetzung der Geschichte der Wissenschaft vom Regenbogen hat immer weniger mit Physik, dafür um so mehr mit Angewandter Mathematik zu tun. Ein Rest unerklärter Regenbogenerscheinungen, zum Beispiel die weißen Nebelbögen bei sehr kleinen Tropfen, läßt sich nur als Beugungserscheinung des Lichts verstehen.

Die Vollendung einer Theorie: Etwa zur gleichen Zeit, als Augustin-Jean Fresnel (1788 bis 1827) die Beugung des Lichts allgemein untersuchte, schuf George Biddle Airy (1801 bis 1892) die Beugungstheorie des Regenbogens. Seine berühmte Arbeit “On the Intensity of Light in the Neighbourhood of a Caustic” erschien 1838 als Vollendung der Theorie des Regenbogens.

Die Kompliziertheit der nötigen Berechnungen zur Verteilung der Lichtintensität entzog die Regenbogentheorie aber der Allgemeinverständlichkeit ebenso wie alle späteren mathematischen Behandlungen des Phänomens.

Nach der Formulierung der elektromagnetischen Lichttheorie durch James Clerk Maxwell (1831 bis 1879) wurde 35 Jahre später klar, daß die exakte Theorie des Regenbogens auf der Streuung elektromagnetischer Wellen an einem Wassertropfen beruhen müsse. Gustav Mie formulierte die Aufgabe 1908 in den Annalen der Physik. Ihre mathematische Lösung stieß aber zunächst auf unüberwindliche Schwierigkeiten und gelang erst Jahrzehnte später.

Die dramatische Entwicklung der Theorie des Regenbogens bis in die neueste Zeit hat H. Moysés Nussenzveig im Aprilheft 1977 des Scientific American ausführlich beschrieben. Zur wechselvollen Geschichte der Erforschung des Regenbogens seit den Anfängen bis zum Beginn des 20. Jahrhunderts empfehle ich den Lesern Carl B. Boyers fundamentales Buch “The Rainbow – From Myth to Mystery”, Princeton,1987.

Wolfgang Bürger