Die aufgewickelte Linie im Würfel

Sind in einem Würfel mehr Punkte als in einer Linie enthalten? Erstaunlicherweise nicht! 1890 veröffentlichte der Mathematiker David Hilbert (1862 bis 1943) seine Antwort auf diese Frage, indem er eine Idee seines Kollegen Giuseppe Peano (1858 bis 1932) verallgemeinerte: Man kann eine Linie so aufwickeln, dass sie einen Würfel komplett ausfüllt. Dazu nimmt man eine Ausgangsform, die etwa so aussieht wie das Rohrgestänge eines Freischwinger-Sessels. In jedem Konstruktionsschritt wird die bislang konstruierte Form acht Mal kopiert, in jeder Raumrichtung um den Faktor 1/2 verkleinert und anschließend jeweils so gedreht, dass die Anschlussstücke zusammengefügt werden können. Die Bilder zeigen den dritten und vierten Schritt. Beim unendlichsten Schritt ist der Würfel komplett mit einer unendlich verwickelten Kurve gefüllt. In gewissem Sinn ist es also dasselbe, ob man Punkte im Raum oder auf einer Linie betrachtet – das „lineare Kontinuum” ist komplex genug!