27.09.2003 - Mathematik

Warum Mathematikern unendlich nicht groß genug ist

Im Jahr 1884 hatte der Hallenser Mathematikprofessor Georg Cantor einen Nervenzusammenbruch. Die meisten seiner Kollegen wunderte das überhaupt nicht, weil sie ihn schon lange nicht mehr verstanden. Cantor hatte herausgefunden, dass es Zahlenmengen gibt, die mehr Zahlen enthalten als eine unendlich große Menge. Ian Stewart von der Universität Warwick erklärt im New Scientist (27.09.2003) den mathematischen Begriff der Unendlichkeit.

Cantor hatte sich damit beschäftigt, wie man Mengen mit unendlich vielen Elementen zählen kann. Eine solche Menge ist beispielsweise die der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, ... Da es keine größte Zahl gibt, bei der diese Aufzählung stoppen würde, hat diese Menge unendlich viele Elemente. Cantor gab diesem "unendlich viele" einen Namen: aleph null.

Als nächstes fragte er sich, ob es noch andere Mengen gibt, die exakt genauso viele, nämlich aleph null Elemente haben. Er fand einige scheinbar paradoxe Antworten. Beispielsweise hat die Menge der geraden positiven Zahlen 2, 4, 6, 8, ... auch aleph null Elemente. Diese Behauptung scheint auf den ersten Blick verrückt zu sein, da zu dieser Menge nur jede zweite Zahl der ersten Menge gehört.

Doch Cantors Beweis ist verblüffend einfach und unwiderlegbar. Seine Idee: Wenn es möglich ist, aus den beiden Mengen Zahlenpaare zu bilden, so dass keine Zahl ohne Partner aus der anderen Menge bleibt, umgekehrt aber auch keine Zahl mehr als einen Partner aus der anderen Menge hat, dann sind beide Mengen exakt gleich groß. Seine Lösung der Paarbildung: 1-2, 2-4, 3-6, 4-8, ... Diese Zuordnung ist eindeutig und es bleibt keine Zahl ohne Partner. Auf ähnliche Weise zeigte Cantor, dass die scheinbar sehr viel größere Menge aller Brüche – die rationalen Zahlen – auch aleph null Elemente hat.

Als nächstes wandte Cantor sich den reellen Zahlen zu. Zu denen zählen alle rationalen Zahlen, aber zusätzlich auch irrationale Zahlen wie Pi, die unendlich viele Stellen hinter dem Komma haben, die sich nicht wiederholen. Cantor konnte beweisen, dass die reellen Zahlen mehr als aleph null Elemente haben. Er nannte diese Anzahl aleph eins.

Allerdings war Cantor sich nicht sicher, ob diese Namensgebung wirklich gerechtfertigt war. Denn sie impliziert ja, dass es zwischen aleph null und aleph eins nicht noch eine weitere Sorte von Unendlichkeit gibt. Diese Frage konnte erst vor etwa vierzig Jahren der amerikanische Mathematiker Paul Cohen näher klären. Seine Antwort lautete: Es kommt darauf an, welche Eigenschaften die Mathematik haben soll. Beide Antworten sind mit einer widerspruchsfreien Mathematik vereinbar.

Cantors Ideen sind heute in vielen Wissenschaftsbereichen unverzichtbar. Dazu zählen in der Mathematik die Wahrscheinlichkeitstheorie, in der Physik die Quantenfeldtheorie und in der Biologie die Populationsdynamik.



Axel Tillemans