Klick-Klack

Eine Reihe gleicher Kugeln, in der Regel fünf, sind eng nebeneinander in gleicher Höhe als Pendel aufgehängt, und zwar an zwei Fäden, die sie zwingen, in derselben Ebene zu schwingen. Zieht man zum Start eine Kugel aus der Ruhelage, beobachtet man, daß sich nur die äußeren beiden Kugeln bewegen und im Spiel abwechseln, während die Kugeln dazwischen unbeteiligt scheinen. Doch der Schein trügt.

Nach wenigem Hin und Her der Schwingung kommen auch die inneren Kugeln langsam in Bewegung. Startet man zwei oder drei Kugeln gleichzeitig, fliegt nicht etwa eine Kugel auf der anderen Seite höher, sondern zwei beziehungsweise drei Kugeln setzen sich spiegelbildlich in Bewegung.

Wer kein Kugelstoß-Pendel zur Hand hat, kann ähnliche Beobachtungen an Münzen machen. Schnippt man eine Münze gegen das Ende einer geraden Reihe gleichartiger Münzen, kommt die Münze beim Aufprall augenblicklich zur Ruhe. Gleichzeitig löst sich die entfernteste Münze von der Reihe und übernimmt die Bewegung. Natürlich pendelt sie nicht zurück, sondern bleibt, von der Reibung auf dem Tisch gebremst, nach einer gewissen Strecke liegen, die von ihrer Anfangsgeschwindigkeit und der Rauhigkeit des Tisches abhängt. Schnippt man mehrere Münzen gleichzeitig gegen die Reihe (wozu man Übung braucht), gerät die gleiche Zahl von Münzen auf der anderen Seite in Bewegung.

Das Spiel mit den Münzen ist sozusagen die Wirtshaus-Variante eines berühmten Kugelexperiments, das auf den französischen Mathematiker und Physiker Edme Mariotte (1620 – 1684), Prior zu Saint Martin-Sous-Beaune und Gründungsmitglied der Pariser Akademie der Wissenschaften, zurückgeht. Er beschrieb seinen Stoßapparat 1676 in den Pariser Akademieberichten (“Traité de la Percussion ou Choc de Corps”). Dort finden sich auch Untersuchungen zur Karambolage-Partie beim Billard und zum Steinhüpfen auf einer Wasseroberfläche. Den Physikern ist Mariotte besser bekannt durch das Boyle-Mariottesche Gesetz für die Zustandsänderungen idealer Gase bei konstanter Temperatur.

Zwei Kugeln: Die Schwingungsdauer T des einzelnen Pendels – die Zeit, die es für einen vollen Hin- und Hergang brauchen würde, wenn seine Bewegung nicht durch Zusammenstöße mit dem anderen Pendel gestört würde – ist bei “kleinen” Schwingungen (gemessen an der Pendellänge) in guter Näherung unabhängig von der Schwingungsweite. Sie hängt nur von der Länge l des Pendels ab: T = 2fπ√ l/g (g ∼ 10 m/sec2, Schwerebeschleunigung) liegt bei kleinen Spielzeugen zwischen einer halben und einer Sekunde.

Aber die Geschwindigkeit U der Kugel beim Durchgang des Pendels durch die Ruhelage wächst mit der Höhe h der Kugel beim größten Ausschlag. Sie ist gerade so groß, als hätte die Kugel die Höhe h im freien Fall durchlaufen: U= √ F2gh. Der Faden ändert nur die Richtung, nicht den Betrag der Geschwindigkeit. Mit dieser Geschwindigkeit U stößt die Kugel gegen die Nachbarkugel.

Die Stoßdauer ist kaum länger als 1/1000 Sekunde und wird vom Auge nicht wahrgenommen. Wir führen den Stoß deshalb an einem Modell “in Zeitlupe” vor – mit Stahlkugeln von 6 Zentimeter Durchmesser und 880 Gramm Masse auf Fahrgestellen einer H0-Spielzeugbahn. Auf einer Seite sind beide Kugeln mit elastischen Schraubenfedern als Puffern versehen (Bild rechte Seite, oben). Richten wir sie aufeinander, wird die Stoßdauer auf das rund Hundertfache verlängert. Die Federn werden beim Stoß sichtbar zusammengedrückt – und zwar um so mehr, je stärker die übertragenen Kräfte sind, die man also ablesen kann, wenn man die Federn vorher geeicht hat.

Richten wir die Puffer nach außen, verformt sich beim Stoß anstelle der Federn das elastische Material der Stahlkugeln an der Berührstelle.

Der Stahl wirkt wie eine viel härtere Feder, die sich bei der Verformung verfestigt. Die Berührfläche von nur wenigen Quadratmillimetern zeichnet sich als Abdruck auf einem Papier zwischen den Kugeln ab.

Zweierstoß: Der erste Stoß findet an der Stelle der Ruhelage statt, wo die zweite Kugel die erste erwartet. An diesem Ort wirkt die Stoßkraft zwischen den Kugeln senkrecht zu den Pendelflächen. Deshalb kann sich die Summe der Impulse (Masse mal Geschwindigkeit) beider Kugeln im Stoß nicht ändern. Bezeichnen m die Masse einer Kugel und v1, v2 die Geschwindigkeiten der ersten und zweiten Kugel nach dem Zusammenstoß, gilt nach dem Prinzip der Impulserhaltung:

m U = m v1 + m v2

Die Differenzgeschwindigkeit v1-v2, mit der die Kugeln sich nach dem Stoß trennen, ist ihrer Annäherungsgeschwindigkeit U vor dem Stoß entgegengerichtet und von kleinerem oder höchstens gleichem Betrag, weil die mechanische Energie im Stoß nicht zunehmen kann.

Die durch ε = – (v1-v2)/U definierte “Stoßzahl” ε ist daher eine Zahl zwischen 0 und 1. Sie ist das einfachste technische Maß für den Energieverlust im Stoß, das schon Isaac Newton (1643 – 1727) in seinem Hauptwerk “Philosophiae naturalis principia mathematica” 1686 bei der Auswertung von Stoßversuchen mit Kugeln verwendete. Der Kuriosität halber sei angemerkt, daß Newtons Stoßzahlen in der Form gemeiner Brüche (zum Beispiel ε = 5/9 für Stahl, ε = 15/16 für Glas) noch 269 Jahre später, nämlich 1955, unverändert in die 28. Auflage des Ingenieur-Taschenbuchs “Die Hütte” übernommen wurden.

Beim Wert ε = 0, der sich mit etwas Knetmasse zwischen den Kugeln realisieren läßt, erleiden die Kugeln den größtmöglichen Energieverlust und laufen nach dem Stoß zusammen weiter. Im Grenzfall e = 1 des “elastischen Stoßes”, der auch bei Kugeln aus vollkommen “elastischem Material” nur annähernd erreicht wird, bleibt die mechanische Energie im Stoß erhalten.

Aus der Impulsgleichung und der Stoßhypothese lassen sich die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln nach dem Stoß ausrechnen: v1 = (1 – ε)U/2 und v2 = (1 + ε)U/2. Außer im Grenzfall ε = 1 kommt die erste Kugel also keineswegs zur Ruhe, wie es den Anschein hat, sondern läuft der zweiten Kugel nach, und zwar um so rascher, je weniger elastisch der Stoß, das heißt, je kleiner e ist. Deutlicher zeigt sich das erst nach mehreren Stößen.

Die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln nähern sich immer mehr einander an, bis beide Pendel mit der gleichen Geschwindigkeit U/2 durch die Ruhelage schwingen. Soll ein Kugelstoßpendel wenigstens am Anfang zufriedenstellend funktionieren, muß die Stoßzahl εmöglichst nahe bei 1 liegen.

Drei und mehr Kugeln: Bei mehr als zwei Kugeln kommt ein neues Problem hinzu, das der Mathematiker schon beim Abzählen der Gleichungen entdeckt. Zwei Gleichungen – eine für den Impuls und eine für die Energie – können nicht ausreichen, die Geschwindigkeiten v1, v2, v3, … von drei und mehr Kugeln nach dem Stoß vorherzusagen. Nimmt man aber an, daß zunächst die erste Kugel die zweite stößt und erst danach die zweite die dritte und so fort (Hypothese der Unabhängigkeit der Stöße), gewinnt man die fehlende Information. Wenn außerdem die Zweierstöße elastisch sind (ε∼ 1) und nacheinander die stoßenden Kugeln zur Ruhe bremsen, wird sofort verständlich, daß nach dem Start zunächst nur die letzte Kugel in Bewegung kommen kann.

Damit klärt sich auch, warum zwei Kugeln, die gemeinsam gestartet werden, auf der Gegenseite ebenfalls zwei Kugeln auslösen – die Stöße finden nacheinander statt: Kugel Nr. 2 läuft voraus und schickt die letzte Kugel weg, Kugel Nr. 1 Bruchteile von Sekunden später die vorletzte.

Zum Nachweis, daß die Unabhängigkeit der Stöße bei drei oder mehr Kugeln notwendig für das Funktionieren des Kugelstoß-Pendels ist, verlängern wir die Dauer des ersten Stoßes (der Kugeln Nr. 1 und Nr. 2) durch die schon beschriebenen Puffer auf etwa das Hundertfache. Dadurch erreichen wir, daß der zweite Stoß (der Kugeln Nr. 2 und Nr. 3) schon beginnt, ehe der erste Stoß beendet ist, das heißt, alle drei Kugeln wechselwirken gleichzeitig miteinander (“Dreierstoß”). Jetzt beobachten wir, daß die erste Kugel zurückprallt, als ob sie gegen eine größere Kugel gestoßen wäre, und die zweite Kugel nicht mehr stehenbleibt, sondern der dritten Kugel folgt. Das Unabhängigkeitspostulat der Stöße ist also nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig für das einwandfreie Arbeiten des Kugelstoß-Pendels.

Zur drastischen Illustration des Effekts eignet sich ein Kugelstoß-Pendel, dessen zweite und dritte Kugel unauffällig durch zwei identische Kugeln ersetzt werden können, die aber miteinander verschraubt oder verschweißt sind. Bei der Vorführung wundern sich die Zuschauer, daß die erste Kugel, die eben noch stehenblieb, zurückprallt. Sie können aber aus ihrer Entfernung den Betrug meist nicht erkennen.

Das Kugelstoß-Pendel – eine Sammlung von Unvollkommenheiten: Um die Unabhängigkeit der Stöße sicherzustellen, muß man zwischen den Kugeln in der Ruhelage einen geringen Abstand (“Luftspalt”) lassen. Er darf um so kleiner sein, je härter die Kugeln sind. Bei Stahlkugeln üblicher Größe genügen ein bis zwei Zehntelmillimeter. Mit den Luftspalten handelt man sich aber ein neues Problem ein. Die Kugeln stoßen sich nicht mehr senkrecht, sondern schief zu den Pendelfäden, und die Stoßkraft wird durch die Aufhängung zum Teil an den Rahmen übertragen. Dadurch wird in den Stößen nicht nur die Energieerhaltung, sondern auch die Impulserhaltung verletzt, was sich längerfristig auswirkt.

Die Aufhängung der Kugeln an ihrer Oberseite hat eine weitere Störung zur Folge. Wird ein Pendel ausgelenkt, zwingen die Fäden der Kugel eine Drehschwingung auf, die sich der Pendelschwingung überlagert. Man erkennt: Es gibt kein perfektes Kugelstoß-Pendel.

Wolfgang Bürger