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Allgemein

Perfekte Packung

Unendlich viele Rädchen und null Reibung – im Computer ist das perfekte Getriebe Realität.

Man nehme drei gleich große runde Scheiben, die sich berühren, und konstruiere in die Lücke in der Mitte eine kleinere Scheibe, die alle drei äußeren Scheiben berührt. In die entstandenen Poren fülle man wieder kleinere Scheiben und so weiter.

Schon 200 Jahre vor Christus beschäftigte sich der griechische Mathematiker Apollonius mit der Frage, wie man Flächen mit runden Objekten optimal ausfüllen kann. Der Physiker Hans Herrmann vom Institut für Computeranwendungen der Universität Stuttgart hat die Mathematik apollonischer Packungen buchstäblich weitergedreht. Bereits 1989 untersuchte er so genannte bichromatische Varianten, in denen es nur Scheiben mit zwei Farben gibt, zum Beispiel rot und blau. Jede rote Scheibe berührt nur blaue Scheiben, jede blaue Scheibe ist nur von roten Scheiben umringt. Die computergenerierten Muster bilden ein perfektes Getriebe: Dreht man eine Scheibe, drehen sich die Nachbarn entgegengesetzt – und deren Nachbarn wieder in die Richtung der ersten Scheibe. Das Verblüffende: Es gibt keine Schleifen, in denen sich „falsch“ drehende Scheiben stoßen. Alle Räder bewegen sich gerade so, dass sie an keiner Stelle aneinander schleifen – die Gleitreibung ist null.

In seiner neuesten, noch nicht veröffentlichten Arbeit stößt Herrmann nun in die dritte Dimension vor. Im Computer hat er einen scheinbar chaotischen Haufen von Kugeln konstruiert, in dem es ebenfalls keine Reibung gibt – egal, welche Kugel man in welche Raumrichtung dreht. Herrmanns Kugelgetriebe ist damit die einzige bekannte bichromatische apollonische Packung. Die fraktale Dimension – ein Maß, wie gut die Poren zwischen den Kugeln gefüllt sind – liegt bei 2,58. Zum Vergleich: Ein vollständig gefüllter dreidimensionaler Körper hätte die fraktale Dimension 3.

Herrmann glaubt, mit seiner Arbeit auch ein Rätsel der Geophysik lösen zu können. In den erdbebenträchtigen Scherzonen zwischen zwei Kontinentalplatten gibt es „Seismic Gaps“, seismische Lücken, die von Erdbeben verschont bleiben. Messungen haben ergeben, dass an solchen Stellen die Gesteinstemperatur erstaunlich niedrig ist. Herrmann vermutet, dass dies an der geringeren Reibungswärme liegt, weil hier Gesteinsplatten nahezu ungehindert aneinander vorbei gleiten, geschmiert durch dicht gepackte Körner.

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Tatsächlich zeigte 1987 Charles Sammis, Geophysik-Professor an der University of Southern California in Los Angeles, dass die Korngrößenverteilung zwischen den tektonischen Platten analog zur apollonischen Packung einem fraktalen Gesetz folgt. Dazu untersuchte er die San-Gabriel-Verwerfung nördlich von Los Angeles, wo eine sechs Meter dicke Schicht aus pulverisiertem Gestein zusammengepresst wird. Sammis ermittelte darin eine fraktale Dimension von 1,6, das heißt, Körner mit einer bestimmten Größe sind immer zehnmal häufiger als Körner mit der 1,6-fachen Größe. Dieses Gesetz gilt für feinste Staubkörner ebenso wie für große Gesteinsbrocken.

In Laborversuchen mit Granitbrocken wies Sammis zudem nach, dass diese nach einiger Zeit zu einer fraktalen Dimension von 1,6 zermahlen werden. Erst dann bauen sich die maximalen Kräfte zwischen den Körnern auf – und damit auch in der Bruchzone. Ein Erdbeben droht. Ist die fraktale Dimension höher oder niedriger, so Sammis, gleiten die beiden Seiten der Verwerfung nahezu reibungsfrei aneinander vorbei.

Herrmann hat seine Arbeitshypothese inzwischen auf mehreren Kongressen vor Geophysikern vorgetragen. Er ist auf großes Interesse gestoßen, beißt aber auch bei vielen Geophysikern auf Granit, die an das Kugelgetriebe tief im Erdinnern nicht glauben mögen.

Bernd Müller

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