Anzeige
Anzeige
1 Monat GRATIS testen, danach für nur 9,90€/Monat!

Allgemein

Von Himmel, Hölle und Sonnensegeln

Bewegliches Spielzeug aus gefaltetem Papier: Hinter den raffinierten Faltungen für fast beliebige Figuren steckt nicht nur Zufall und Phantasie. Meister des „Origami“ greifen durchaus zu mathematischer Hilfe.

Als Schulkinder rissen wir für „Himmel oder Hölle“ ein Blatt aus dem Heft und falteten daraus ein Quadrat von etwa 15 Zentimeter Seitenlänge, wie es schon der Pädagoge Friedrich Fröbel gemacht hatte, der das Papierfalten in deutschen Kindergärten einführte. Durch zwei Talfalten in den Diagonalen und zwei Bergfalten rechtwinklig durch die Mitte sorgten wir für die Beweglichkeit des zu faltenden Orakels. Die Falze sind Scharniergelenke, wie sie neuerdings in der Miniaturtechnik Anwendung finden. An ihnen ermüdet das Papier, ohne die Erinnerung an seine frühere Gestalt ganz zu verlieren. Wieder aufgefaltet erscheinen „Bergfalten“ als Berggrate – wie ihr Name sagt – oder „Talfalten“ als scharf eingeschnittene Talsohlen. Selbstverständlich tauschen Berge und Täler beim Wenden des Papiers ihre Bedeutung. Die vier Ecken des Quadrats werden zur Mitte gefaltet, genau wie nach dem Wenden des Papiers auch die neu entstandenen Ecken. Damit ist das Spielzeug im Prinzip fertig und das anfängliche Quadrat durch die zweimalige Verkleinerung um den Faktor 1/√2 auf eine handgerechte Größe geschrumpft. Man muß nur noch mit den beiden Daumen und den beiden Zeigefingern in die vier Fächer an den Ecken schlüpfen, um Himmel und Hölle in Bewegung zu setzen. Da man die Finger paarweise zusammenpreßt, um das Spielzeug festzuhalten, kann sich der pyramidenförmige Schlund nur längs oder quer, nicht in beiden Richtungen gleichzeitig öffnen – eine bemerkenswerte Konstruktion.

Die eine Öffnung malten wir mit Buntstiften hellblau als Himmel, die andere leuchtend rot als Hölle an. Das Spiel war immer das gleiche: Wir zeigten das Orakel fest geschlossen vor, fragten „Himmel oder Hölle?“ und ließen uns sagen, wie wir es öffnen sollten. Natürlich wollten alle Kinder in den Himmel, aber wir hatten Spaß, wenn sie verkehrt tippten und wir sie in die Hölle schicken konnten – eine kleine Teufelei, die ihre Wurzeln sicher nicht im Origami- Ursprungsland Japan hat. Himmel und Hölle sind nicht mehr, was sie einmal waren: In einem Anleitungsbuch fürs Papierfalten wird dieselbe Faltfigur, auf dem Kopf stehend, als ein praktisches „Salznäpfchen“ mit vier Mulden vorgestellt. Wie profan! Faltet man die Ekken ein drittes Mal zur Mitte, entsteht eine weitere bekannte Faltfigur: ein Dampfer, der wie ein plumpes Fährschiff aussieht, weil er in der Mitte auf jeder Seite einen mächtigen Schornstein trägt.

Der „Bellende Hund“: Durch die Art der Bedienung hat „Himmel oder Hölle“ nur einen Freiheitsgrad der Bewegung. Der Knickwinkel a des einen, in der Mitte geteilten Gelenks legt den Knickwinkel b des anderen Gelenks fest, das sich in der dazu senkrechten Ebene bewegt:

cos(α/2)cos(β/2) = 1/√2

Anzeige

Ähnliche Mechanismen findet man bei zahlreichen anderen Papierfaltspielzeugen, zum Beispiel beim Fliegenden Storch oder Kranich, der mit den Flügeln schlägt, wenn man ihn an Brust und Schwanz zieht, und bei Paul Jacksons famosem „Bellenden Hund“, der beim Langziehen des Körpers die Schnauze aufreißt, wie um zu bellen. Wie oft habe ich ihn auf meinen Reisen gefaltet – einmal in Polen für einen kleinen Jungen von sechs Jahren. Als ich das erste Schlappohr des Hundes faltete, tippte ich dem Buben ans linke Ohrläppchen und sagte: „Ohr“. Er echote auf Polnisch: „ucho“. Später tippte ich ihm an die Nasenspitze und sagte: „Nase“, und er wiederholte: „nos“. Auch so kann man Fremdsprachen lernen. Ehe der Hund fertig war, hatte sich eine lange Schlange kleiner Buben und Mädchen gebildet, denen allen ich noch einen „Bellenden Hund“ falten mußte. Hier die wichtigsten Schritte der Anleitung zum Falten eines „Bellenden Hundes“: Gutes Faltpapier, das man an seiner Elastizität erkennt, ist in der Regel einseitig eingefärbt.

1 Die Farbseite diagonal nach innen falten und an dem einen spitzen Winkel Ober- und Unterseite zurück an den Mittelbruch falten.

2 In den angedeuteten Richtungen unten den Schwanz abteilen und nach innen falten, oben den Kopf überstülpen.

3 Links und rechts die Ohren herausziehen. Damit ist die Mechanik schon vollständig. Zieht man an der Stelle, wo die Vorderfüße zu vermuten sind, und gleichzeitig am Schwanz, „bellt“ der Hund – zum „Wau“ muß man ihm allerdings die eigene Stimme leihen.

4 Zur Verschönerung wird der Schwanz ein Stück eingezogen, die Schnauze modelliert und der Hund mit einer weißen Nasenspitze versehen. Fertig.

Ein Mechanismus aus Papier: Auf einem Streifen aus kräftigem Papier, der der Länge nach zusammengefaltet wird (Zeichnung Seite 82) und danach im Zickzack umgebrochen wird (a), erscheint nach dem Entfalten ein Muster. Seine Längs- und Querfalten werden – wie skizziert (b) – erhaben als „Bergfalten“ (strichpunktiert) oder vertieft als „Talfalten“ (gestrichelt) scharf nachgefaltet. Das entstandene Muster ist – abgesehen von der Streifenbreite – durch den Neigungswinkel γ und den Abstand d der Querfalten bestimmt. Der vorgefaltete Streifen läßt sich durch Druck in den Punkten C und A in Längsrichtung zusammenschieben (c). Dabei öffnet sich der Winkel α zwischen der ursprünglichen und der neuen Richtung der Falte OC, während sich der Öffnungswinkel D1AD2 = 2φ des Streifens, der zwischen den Loten auf die Längsfalte gemessen wird, verkleinert. Die Winkel a in einer Längsebene und j in der auf ihr senkrechten Querebene verbindet die Formel

cosφ = tanγtan(α/2)

mit der Faltenrichtung g als Parameter. Beim Winkel α = 0 (im Ausgangszustand) ist der Streifen flach φ = π/2), vorausgesetzt man hat keine der bezeichneten Bergfalten zu Talfalten gewendet oder umgekehrt. Bei ganz zusammengeklapptem Streifen (φ = 0) hat der Winkel a seinen größten Wert α0 = π – 2g (d). Falls die Querfalten senkrecht zur Längsfalte verlaufen (γ = 0), bleibt die Längsfalte für beliebige Winkel a flach (φ = π/2), wenn Faltungen ausgeschlossen bleiben, die Bergfalten in Talfalten verwandeln oder umgekehrt. Ohne diese Beschränkung verzweigen sich die Faltmuster am flachen Streifen (φ = 0) in weitere mögliche Faltformen. Klebt man an die Seiten des Streifens – wie angedeutet (c) – papierene Flügel, kann man durch Ziehen und Drücken an den Enden die Flügel schlagen lassen. Der gleiche Mechanismus versteckt sich in Paul Jacksons „Bellendem Hund“, der beim Langziehen an Pfoten und Schwanz die Schnauze aufreißt.

Landkarten: Alltäglich faltet man Landkarten, Tageszeitungen, Wäsche und andere sehr flache und sehr flexible Gegenstände – zum Schutz oder zur Platzersparnis. Vor mir liegen zwei Stadtpläne von Karlsruhe und München, die entfaltet die Formate 98 mal 130 beziehungsweise 98 mal 139 Zentimeter haben. Niemand könnte sie so auf Reisen mitnehmen. Sie sind „flach“, denn ihre Dicke verhält sich bei einer Papierstärke von 0,085 Millimeter zu ihrer Länge oder Breite wie 1 zu über 10000, und sie sind „flexibel“, weil sich das Papier falten läßt, ohne zu reißen oder zu brechen. Üblicherweise werden die Pläne an vorgefalteten Knickstellen zuerst in der Höhe halbiert und danach durch elf beziehungsweise zwölf Falten ziehharmonikaartig zu einem viermal so hohen wie breiten, 24 oder 26 Papierschichten starken Streifen zusammengelegt. Dieser Block, der sogar zusammengepreßt noch über 2 Millimeter dick ist, wird zuletzt mit dem Schutzumschlag aus dünnem Karton zu einem handlichen Rechteck von ungefähr 11 mal 24 Zentimeter zusammengeklappt. Die letzte Faltung strapaziert das Papier am meisten. Außen weichen die Blätter dem Zwang aus: Sie verschieben sich gegeneinander. Sonst käme das fast undehnbare Papier in den äußersten Schichten insbesondere bei der letzten Faltung unter erhebliche Zugspannung und in Gefahr zu reißen.

Innen weichen die Papierschichten dem Druck seitlich aus und bilden im Bereich der Falte Beulen und Wellen, die von der Seite zu sehen sind. Dadurch wird der theoretische Längenunterschied von mehr als sechs Millimetern (pd bei der Umlenkung um 180 Grad und der Schichtdicke d) zwischen dem äußeren und dem inneren Bogen so weit wie möglich ausgeglichen. Da Landkarten bei längerem Gebrauch an den stark beanspruchten Stellen reißen, ließ man früher Wanderkarten für den Dauergebrauch in handliche Rechtecke schneiden und die Teile, durch breite Faltfugen getrennt, auf Buchbinderleinen aufziehen. Gibt es keine schonenderen Faltungen für Landkarten? Koryo Miura hat vorgeschlagen, Karten in ein periodisches Relief zu falten, das die Blätter fast genauso verdichtet wie konventionelle Faltungen, aber ihre Nachteile vermeidet, weil es ohne Falze durch mehr als zwei Lagen Papier auskommt. Das Faltrelief entsteht aus dem bereits ausführlich studierten Element durch doppelt-periodische Fortsetzung in zwei Raumrichtungen. Dazu faltet man den Bogen der Höhe H und der Breite B zuerst durch (m – 1) Berg- und Talfalten ziehharmonikaartig zu einem Streifen der Breite h = H/m und der Länge B. Der m Papierlagen starke Streifen wird dann – wie in Figur a für zwei Falten gezeichnet – in n Zickzackfalten im Abstand d gelegt. Die Gesamtlänge nd der Abstände kann höchstens so groß wie B sein. Der Einfachheit halber wird der Streifen in ganzer Länge in gleiche Teile gefaltet: d = B/n. Nach dem Öffnen der Faltfigur müssen die Berg- und Talfalten des Reliefs einzeln nachgefaltet werden.

Das ist mühsam und gelingt nicht sehr genau. Deshalb hat Miura vorgeschlagen, die Faltung maschinell vorzunehmen. Zusammengefaltet hat der Plan ungefähr – bis auf die mit dem Faltmuster nicht konformen Ränder am Anfang und Ende des Streifens – die Länge l = 2nd sinγ + h/cosγ und die Breite b = d cosγ. Da sich sing mit der Anzahl n der Falten vervielfacht, erreicht man eine hinreichende Verdichtung des Plans beim Zusammenfalten nur unter sehr kleinen Winkeln γ. Im Grenzfall der unzweckmäßigen rechtwinkeligen Faltung (γ = 0) hat der zusammengefaltete Plan die Minimalmaße l = H/m und b = B/n. Die Schräge der Querfalten (γ > 0), die beweglichen Origami-Figuren Leben verleiht, hat bei Kartenfaltungen die Folge, daß sich die Karte beim Entfalten in der Höhe und der Breite gleichzeitig streckt. Biruta Kresling hat (in Origami, 1, „Symmetry“, Vol. 5, 1994, S. 23 – 36) bei der Diskussion biologischer Anwendungen der Faltung darauf hingewiesen, daß der reliefgefaltete Plan als ebenes elastisches Material angesehen werden kann, das sich bei Dehnung in einer Richtung zwangsläufig auch in der anderen Richtung dehnt und daher eine papierene Realisierung eines (ungewöhnlichen) Materials mit Querexpansion, das heißt, negativer Poissonzahl, darstellt.

In der Technik sind solche Materialien nicht bekannt, sie kommen aber bei der Entfaltung von Pflanzenblättern vor. Die Handhabung einer solchen Faltung erfordert auch bei großen Karten keine größere Geschicklichkeit vom Benutzer als das Zusammenlegen konventionell gefalteter Pläne. Trotzdem ist nicht sicher, ob sich Relief- Faltungen bei Landkarten und Stadtplänen durchsetzen werden. Es genügt nicht, eine überlegene Falttechnik anzubieten, sondern man muß auch – was schwierig ist – die Gewohnheiten der Benutzer ändern. Nach Miuras Vorschlag können die beweglichen Reliefs noch eine andere zukunftweisende Aufgabe lösen helfen: Sie eignen sich für die riesigen Sonnensegel, die sich im Weltraum unter Schwerelosigkeit und ohne Luftwiderstand selbsttätig entfalten können. Sie sollen es Raumschiffen ermöglichen, im Sonnenwind durchs Weltall zu segeln.

Wolfgang Bürger

Anzeige
Anzeige

Videoportal zur deutschen Forschung

Aktueller Buchtipp

Sonderpublikation in Zusammenarbeit  mit der Baden-Württemberg Stiftung
Jetzt ist morgen
Wie Forscher aus dem Südwesten die digitale Zukunft gestalten

Wissenschaftslexikon

Tech|ni|ker  〈m. 3〉 1 Facharbeiter auf einem Gebiet der Technik 2 wissenschaftlich ausgebildeter Fachmann auf einem Gebiet der Technik, Ingenieur … mehr

Club|bing  〈[klbın] n. 15〉 1 das Clubben, Aufenthalt in einem Club 2 größere Party, Tanz– u. Diskoveranstaltung … mehr

Dys|pro|si|um  〈n.; –s; unz.; chem. Zeichen: Dy〉 chem. Element, Metall der seltenen Erden [zu grch. dysprositos … mehr

» im Lexikon stöbern
Anzeige
Anzeige
[class^="wpforms-"]
[class^="wpforms-"]
[class^="wpforms-"]
[class^="wpforms-"]
[class^="wpforms-"]
[class^="wpforms-"]