Quadratisch, praktisch, kniffelig! - wissenschaft.de
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Astronomie+Physik

Quadratisch, praktisch, kniffelig!

Es gibt Menschen, auf die ein Quadrat eine unwiderstehliche Faszination ausübt, vor allem dann, wenn es zusätzlich in Kästchen unterteilt ist – wie bei einem Kreuzworträtsel, einem Tic-Tac-Toe oder einem Sudoku. Wenn diese Freaks die leeren Kästchen sehen, fingern sie nach einem Stift, tragen fiebrig die Buchstaben oder Zahlen ein und atmen erst wieder auf, wenn alles ausgefüllt ist.

Auch so mancher Mathematiker ist dem Zauber der Quadrate verfallen. Insbesondere die so genannten magischen Quadrate üben auf viele eine große Anziehungskraft aus. Magische Quadrate gibt es in verschiedenen Größen. Die kleinsten bestehen aus 3 Zeilen und 3 Spalten: Sie enthalten also 9 Kästchen. Die Aufgabe besteht darin, in diese Kästchen die Zahlen 1, 2, 3 bis 9 einzutragen und zwar so, dass die Summe jeder Zeile und auch jeder Spalte immer die gleiche Zahl ergibt.

Vor über 4000 Jahren soll solch ein magisches Quadrat auf dem Rücken einer Schildkröte geprangt haben. In der obersten Zeile dieses „Lo Shu“ standen der Reihe nach die Zahlen 4, 9, 2, in der mittleren Zeile die 3, 5, 7, ganz unten die 8, 1, 6. Jede Zeile und jede Spalte hatte tatsächlich die Summe 15.

Der Maler Albrecht Dürer hat in seinen Holzschnitt „ Melancholia“ ein magisches Quadrat aus 4 Zeilen und 4 Spalten, also insgesamt 16 Kästchen, eingebaut. Das Quadrat ist so raffiniert konstruiert, dass es in der Mitte der untersten Reihe die Zahlen 15 und 14 trägt, was zusammen das Entstehungsjahr des Holzschnitts – 1514 – ergibt.

Auch der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler, der von 1707 bis 1783 lebte, war von Quadraten begeistert. Er untersuchte so genannte lateinische Quadrate. Ihr Name kommt daher, dass früher die Kästchen nicht mit Zahlen, sondern mit lateinischen Buchstaben ausgefüllt wurden. Ein lateinisches Quadrat kann zum Beispiel aus vier Zeilen und vier Spalten gebildet werden. In die 16 Kästchen muss man die Zahlen 1, 2, 3, 4 eintragen, jede 4-mal, so dass in jeder Zeile und jeder Spalte jede Zahl genau einmal vorkommt. Das allein ist nicht besonders schwierig: Man könnte in die erste Zeile die Zahlen 1, 2, 3, 4 schreiben, in die zweite Zeile die 2, 3, 4, 1, in die dritte Zeile die 3, 4, 1, 2 und schließlich in die vierte Zeile die 4, 1, 2, 3.

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Euler interessierte sich aber für Paare von lateinischen Quadraten, so genannte lateinisch-griechische Quadrate. Folgendes Problem aus der Welt des Militärs, das an ihn herangetragen worden war, versuchte er zu lösen: Aus 6 Regimentern und 6 Dienstgraden kann man 36 Offiziere zusammenstellen, wenn man jedes Regiment mit jedem Dienstgrad kombiniert. Frage: Kann man diese 36 Offiziere in einem 6-mal- 6-Karree so aufstellen, dass in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Regiment und jeder Dienstgrad genau einmal vorkommt?

Euler stellte sich das Problem natürlich nicht nur für den Fall von 6 Regimentern und 6 Dienstgraden, sondern allgemein für n Regimenter und n Dienstgrade. Er selbst konnte die meisten Fälle lösen, ausgerechnet am Fall n = 6 aber scheiterte er. Erst im 20. Jahrhundert wurde dieses Problem gelöst.

Die Sudoku-Idee basiert auf einfachen lateinischen Quadraten. Ein lateinisches Quadrat mit 9 Zeilen und 9 Spalten zu entwerfen ist einfach. Schwieriger wird es, wenn man noch 4 Linien einzieht, so dass man neun 3-mal-3-Quadrate erhält, so genannte Blöcke. Die Zahlen 1 bis 9 müssen so eingetragen werden, dass in jeder Zeile und jeder Spalte – und in jedem Block – jede der Zahlen 1 bis 9 genau einmal vorkommt.

Richtig gemein wird das Spiel, wenn schon einige Zahlen eingetragen sind. Dies wirkt verführerisch leicht, ist aber äußerst kniffelig. Probieren Sie selbst!

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