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Was Zahlen alles sein können – natürlich, fröhlich, vollkommen

Fibonacci-Spirale
Die Fibonacci-Spirale wirkt auf unser Auge ausgeglichen und entspricht einem tief verwurzelten Schönheitsempfinden. (Foto: pixabay.com, geralt)

Perfekte Zahlen, das könnten beispielsweise die sechs Richtigen im Lotto sein, am besten noch mit Zusatzzahl. Für Mathematiker hat die sechs eine ganz andere Bedeutung: Sie ist die kleinste perfekte oder vollkommene Zahl. Eine vollkommene Zahl ist gleich der Summe all ihrer positiven, echten Teiler. In diesem Fall wäre das:

6 = 1 x 2 x 3 = 1 + 2 + 3

Daraus folgernd ließe sich eine vollkommene Zahl auch so definieren: Eine vollkommene Zahl ist halb so groß, wie die Summe all ihrer Teiler. Dabei ist die Zahl selbst eingeschlossen. Vollkommene Zahlen sind: 6, 28, 496, 8128, 33 550 336, 8 589 869 056 und 137 438 691 328. Bis heute ist ungeklärt, ob ungerade vollkommene Zahlen und eine größte vollkommene Zahl existieren.

Mathematische Spielereien

Solche Phänomene könnten leicht für mathematischen Spielereien gehalten werden. Doch es gibt interessante Zusammenhänge zwischen vollkommenen Zahlen und Primzahlen. Viele haben in der Schule nie von diesen Zahlen gehört, sich vielmehr mit anderen mathematischen „Herausforderungen“ herumgequält. Die meisten Schüler mögen Mathematik nicht so besonders, da es jedoch eines der Hauptfächer ist, wird es wohl für etwas gut sein. Dennoch bleiben die Probleme. Das ist ein Grund, warum viele Eltern für ihre Kinder Mathematik-Nachhilfeunterricht suchen. Bei superprof.de, einem Portal für Nachhilfelehrer, gibt es mehr als 2800 private Mathelehrer, denen Mathematik Spaß macht und die ihr Wissen gerne an Schüler weitergeben.

Mersenne-Primzahlen

Zwischen vollkommenen Zahlen und Primzahlen besteht ein Zusammenhang.

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2n-1 x (2n – 1) ist genau dann eine vollkommene Zahl, wenn es sich bei 2n – 1 um eine Primzahl handelt. Diese ist dann eine Mersenne-Primzahl. Die größte bis heute bekannte Mersenne-Primzahl fanden Mathematiker im September 2015. Sie hat über 22 Millionen Stellen. Dabei ist n = 74.207.281. Wer noch mehr über die Mersenne-Primzahl lesen möchte, kann bei der TU Freiburg nachlesen.

Erhabene Zahlen

Von erhabenen Zahlen ist die Rede, wenn Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl und deren Summe vollkommen sind. Derzeit gibt es nur zwei bekannte erhabene Zahlen. Eine davon ist die 12. Die Zahl der Teiler ist sechst und die Teilersumme ist 28. Sowohl 6 wie auch 28 sind vollkommene Zahlen. Die nächste bekannte erhabene Zahl hat 79 (!) Stellen.

Superperfekte Zahlen

Wer es noch eine Stufe weitertreiben möchte, für den gibt es die superperfekte Zahl. Was für diese Zahlen gilt, lässt sich anhand eines Beispiels deutlich machen.

2 ist eine superperfekte Zahl.

Die Summe der Teiler ist 1 + 2 = 3 und die Summe der Teiler der Teiler ist 1 + 3 = 4 das ist wiederum das Doppelte der Zahl selbst. Wer hier ein bisschen weiterspielt, wird sehr schnell dahinterkommen, dass superperfekte Zahlen alle eine Form von 2n sind.

Aber das geht noch weiter. Wenn 2n  eine superperfekte Zahl ist, dann muss 2n+1 – 1 eine Mersenne-Primzahl sein.

Beispiel: 64 ist eine superperfekte Zahl, 64 = 26

Dann muss 127 dieser Formel zufolge eine Mersenne-Primzahl sein, und zwar 26+1 -1. Im Umkehrschluss lässt sich so aus jeder Mersenne-Primzahl eine superperfekte Zahl ableiten.

Was sind Anti-Primzahlen?

Primzahlen, das weiß fast jeder, sind nur durch 1 und durch sich selbst teilbar. Daraus lässt sich folgern, dass alle anderen natürlichen Zahlen Anti-Primzahlen sein müssen. Mathematiker sprechen dann von zusammengesetzten Zahlen, weil sie sich aus mindestens zwei Primfaktoren zusammensetzen – ohne die 1.

Hochzusammengesetzte Zahlen

Die Steigerung hierbei sind hochzusammengesetzte Zahlen. Das sind ganze Zahlen, die eine größere Anzahl Teiler haben als jede andere, kleinere und ganze Zahl.

Dabei handelt es sich um ganze Zahlen, die mehr Teiler haben als jede kleinere ganze Zahl. Hochzusammengesetzte Zahlen sind: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720.

Eine Sonderstellung unter den hochzusammengesetzten Zahlen hat die 2520. Sie ist die kleinste Zahl, die sich durch alle Zahlen von 1 bis 10 glatt teilen lässt. Sie hat insgesamt 48 Teiler.

Befreundete Zahlen

Pythagoras war ein wahrer Zahlenfreund, das weiß jeder, der im Mathematikunterricht ein wenig aufgepasst hat. Seine Definition von Freund lautete: „Einer, der ein anderes ich ist, wie 220 und 284.“ Er spielte dabei auf befreundete Zahlen an. Für befreundete Zahlen gilt:

Die Summe der Teiler der Zahl a ergibt b.

Die Summe der Teiler der Zahl b ergibt a.

Summe der Teiler (220) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Summe der Teiler (284) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Fröhliche Zahlen

Es gibt fröhliche Zahlen. Bei diesen Zahlen ergibt die Summe der quadrierten einzelnen Ziffern am Ende 1.

Beispiel: 7

72 = 49

42 + 92 = 97

92 + 72 = 130

12 + 32 + 02 = 10

12 + 02 = 1

Die 7 ist also eine fröhliche Primzahl. Zahlen, die nicht zu den fröhlichen Zahlen gehören, sind traurige oder nichtfröhliche Zahlen. Allerdings sind fröhliche Zahlen noch lange nicht glücklich. Bei der Uni Wien gibt es „Jede Menge Zahlen“ in einem PDF zusammengefasst, dort sind auch die fröhlichen und die glücklichen Zahlen erläutert.

Narzisstische Zahlen

Wer das Spiel mit den Zahlen übertreibt, landet irgendwann bei den narzisstischen Zahlen. Sie erzeugen sich selbst durch bestimmte Rechenvorschriften zwischen den Ziffern.

Diese Zahlen sind so sehr mit sich selbst beschäftigt, dass sie sonst keinerlei wissenschaftlichen Nutzen haben. Sie können eine steigende Potenz haben oder eine konstante Basis oder nicht einheitlichen Rechenvorschriften folgen. Dann ist die Rede von einer wilden narzisstischen Zahl. Zu guter Letzt gibt es och die interessanten Zahlen. Eine interessante narzisstische Zahl ist die 3456.

3456 = 3! x 4/5 x 6! = 6 x 4/5 x 720

Lügenbarone

Lügenbarone sind eng mit den narzisstischen Zahlen verknüpft. Dabei folgen die Münchhausen-Zahlen einer bestimmten Rechenvorschrift.

abcd … = aa + bb + cc + dd

Der Lügenbaron zieht sich selbst aus dem Morast. Die Münchhausen-Zahl zieht sich an jeder Ziffer selbst hoch.

Die Fibonacci-Folge

Diese Überlegungen führen fast automatisch zur Fibonacci-Folge. Dabei bestehen die einzelnen Zahlen der Reihe immer aus der Summe der beiden vorangegangenen Zahlen.

Fibonacci-Folge: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

8. August 2018

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Meer|schwein|chen  〈n. 14; Zool.〉 urspr. aus Südamerika eingeführtes, nur in gezähmtem Zustande lebendes Nagetier, beliebtes Haustier: Cavia porcellus

Am|mo|ni|ak|sal|ze  〈Pl.; Chem.〉 = Ammoniumsalze

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