Wenn Mathematiker häkeln

Mathematiker gelten als Kopfarbeiter, die gerne in höhere Gedankenwelten abheben und dabei oft den Bezug zur Wirklichkeit verlieren. Doch Hinke Osinga und Bernd Krauskopf haben die Rückkehr in die Welt der realen, fassbaren Objekte geschafft. Das Mathematiker-Ehepaar von der englischen Bristol University forschte über eine komplizierte geometrische Fläche, als es den bestrickenden Einfall hatte, das Gebilde zu häkeln. Jetzt bestaunt die Fachwelt einen überdimensionalen verschlungenen Topflappen, der eine Ikone der Chaos-Forschung verkörpert: die Lorenz-Mannigfaltigkeit.

„In den Weihnachtsferien saß ich mit Hinke im Wohnzimmer“, erinnert sich der gebürtige Aachener Krauskopf. „Wie häufig häkelte sie zum Zeitvertreib. Beiläufig sagte ich: ‚Häkel doch mal was Sinnvolles‘.“ Die Gelegenheit bot sich bald: Als die beiden Mathematiker auf ihren Bildschirmen die unendliche, in sich verschlungene und verdrehte Fläche der Lorenz-Mannigfaltigkeit betrachteten, erkannten sie ein Häkelmuster darin. Die genaue Häkelanleitung erwies sich allerdings als sehr kompliziert. Der Computer musste die Regeln berechnen, nach denen die Maschen auf- und abzunehmen sind. Das Häkelprojekt ist das Ergebnis jahrelanger Forschung, sagt Krauskopf: „In jeder Häkelrunde tut sich etwas – aber nicht nach irgendeinem regelmäßigen Muster.“ „Die vom Computer erzeugte Häkelanweisung hat mich wirklich überrascht“, ergänzt Osinga. „ Nur durchs Betrachten der Fläche auf dem Monitor wäre ich nie darauf gekommen.“

Zwei Monate und 25 511 Maschen später hatte die gebürtige Holländerin den gewellten Pfannkuchen aus je 200 Gramm hell- und dunkelblauem Garn mittlerer Stärke fertig. „Nach den Monaten, in denen wir die Fläche nur auf dem Bildschirm darstellen konnten, war ich fasziniert zu sehen, wie sie in meinen Händen wuchs“, erzählt Osinga. Das Häkeln selbst sei relativ einfach gewesen, auch wenn das ständige Zählen der Maschen hohe Konzentration erfordert habe.

Um den Topflappen in die richtige Form zu bringen, spannten Osinga und Krauskopf ihn auf ein Drahtgerüst. Die Länge der Drähte hatte zuvor der Computer ausgerechnet. Zum Aufspannen brauchten die beiden knapp zwei Stunden. Das Ergebnis stimmte nahezu perfekt mit dem Vorbild auf dem Bildschirm überein. Nun lässt sich das gewundene Aushängeschild der Chaos-Forschung nicht nur am Computer, sondern als reales Objekt bewundern.

Die Lorenz-Mannigfaltigkeit beschäftigt Wissenschaftler schon seit vier Jahrzehnten, genau: seit 1963. Damals tüftelte der US-amerikanischer Meteorologe Edward Lorenz an einem Modell zur Wettervorhersage. Weil die Computer noch schrecklich langsam rechneten, fütterte er seinen Computer mit bloß auf drei Nachkommastellen gerundeten Wetterdaten. Um seine Ergebnisse zu überprüfen, führte er einen Teil der Rechnungen nochmals durch, begann diesmal jedoch bereits mit auf drei Kommastellen gerundeten Zwischenergebnissen.

Zu Lorenz‘ Überraschung spuckte der Rechner diesmal ein völlig anderes Ergebnis aus. Nach einigem Hin und Her wusste der Wissenschaftler den Grund: Der Computer arbeitete intern mit mehr als drei Nachkommastellen. Im Lauf der Simulationen schaukelten sich deshalb die kleinen Unterschiede auf.

Damit war der so genannte Schmetterlingseffekt geboren, nach dem der Flügelschlag eines Schmetterlings in China – zumindest theoretisch – einen Wirbelsturm in der Karibik auslösen kann. Seither wurden neben dem Wetter viele Phänomene gefunden, die dem Chaos unterworfen sind: Periodisch angetriebene mehrgelenkige Pendel etwa schwingen so unvorhersehbar hin und her, wie der Mixer den Kuchenteig mischt oder die Aktienkurse steigen und fallen.

Die Lorenz-Mannigfaltigkeit gibt dabei so etwas wie eine Grenze an: Punkte oberhalb von ihr stehen für Zustände, die sich nach einiger Zeit nach einem bestimmten Muster verhalten – Punkte unterhalb für welche, die sich nach einer Weile ganz anders entwickeln. Osinga erklärt das Prinzip mit einem turbulenten Fluss, in dem Blätter schwimmen: „Liegt ein großer Stein im Wasser, so wird ein Blatt entweder links oder rechts an ihm vorbei treiben.“ Die Grenze zwischen denen, die links oder rechts vorbeiziehen, entspricht dabei der Lorenz-Mannigfaltigkeit.

Das Verzwickte dabei ist: In der mathematischen Realität ist diese Grenze eine gewundene und verfaltete Fläche, die, wenn man sie genügend weit berechnet, nahezu den gesamten Raum ausfüllt. Wählt man zwei beliebige Punkte, die nicht zu ihr gehören, liegt immer ein Stück der Fläche, die ja mathematisch gesehen unendlich dünn ist, zwischen ihnen. Zwei Zustände driften mit der Zeit immer weit auseinander, ganz egal wie nahe sie ursprünglich beieinander gelegen haben.

Dass die gehäkelte Fläche nur ein endliches Teilstück von einem knappen Meter Durchmesser der unendlich großen Lorenz-Mannigfaltigkeit wiedergibt, schmälert die Begeisterung der Fachwelt über die Handarbeit nicht. Die zierte sogar das Titelbild der Fachzeitschrift „Mathematical Intelligencer“, in der Osinga und Krauskopf ihr Häkelmuster veröffentlichten.

Dem Ersten, der ihnen nacheifern würde, versprachen die Mathematiker eine Flasche Champagner. „Binnen zwei Wochen meldete sich bereits jemand“, staunt Krauskopf. „Ein Mathematik-Lehrer, der nebenbei Hühner häkelt.“ Mittlerweile haben mehrere Teams ihr mathematisches Häkeltalent bewiesen. Und bei Osinga und Krauskopf haben bereits Häkel-Zeitschriften und Boutiquen angefragt.

Eine andere mathematische Häkelei hat es sogar in eine Kunstausstellung geschafft. Eine Galerie in Washington zeigt die Arbeiten von Daina Taimina von der Cornell University in Ithaca, New York. Die aus Lettland stammende Mathematikerin führt den Besuchern hyperbolische Geometrie vor Augen. Ihre gehäkelten Werke zeichnen sich durch eine negative Krümmung aus. Denn: Dinge wie Orangen oder Bälle haben eine positive Krümmung, ebene Flächen wie Tischplatten die Krümmung Null, gekräuselte Salatblätter hingegen eine negative.

Hyperbolische Geometrie spielt eine wichtige Rolle in der Physik und dem Ingenieurwesen. Doch die Studenten und Dozenten hatten schon immer Probleme, sich die Objekte vorzustellen. David Henderson, Mathematik-Professor an der Cornell University und Taiminas Ehemann, bastelte deshalb für seine Vorlesungen Modelle aus Papier und Klebstreifen. Doch sie fielen zu leicht auseinander oder hielten nicht die Form. Auf einem Campingurlaub häkelte Taimina 1997 das erste hyperbolische Objekt. „Oh, so sehen sie also aus!“, habe ein befreundeter Professor gerufen, als er ihre Modelle sah, erzählt Taimina.

Krauskopf wendet sich indessen dem praktischen Nutzen seiner Forschungen zu: „Halbleiterlaser flackern manchmal wild hin und her.“ Um das zu vermeiden, muss man Oberflächen wie die Lorenz-Mannigfaltigkeit genau kennen. Der gehäkelte Topflappen könnte daher das Mathematikerpaar nicht nur in die Kunstszene, sondern auch in der Laserforschung weiter bringen. ■

Wolfgang Blum