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Geschichte der Mathematik

Angewandte Geometrie vor 3700 Jahren

Diese babylonische Tontafel ist das älteste bekannte Beispiel einer praktischen Anwendung der Pythagoreischen Tripel. (Bild: UNSW Sydney)

Neues Licht auf die Wurzeln der Mathematik: Schon die alten Babylonier nutzten geometrische Prinzipien zur Landvermessung, berichtet ein Mathematiker. Dies geht aus seinen Untersuchungen einer 3700 Jahre alten Tontafel hervor, die bislang unbeachtet in einem Museum in Istanbul schlummerte. Seine Ergebnisse werfen dabei Licht auf die Bedeutung einer bereits zuvor berühmt gewordenen Tontafel mit mathematischen Tabellen.

Wie, wo und wann fingen Menschen an, fortgeschrittene Mathematik zu betreiben? Aus Analysen von Tontafeln geht hervor, dass schon die alten Babylonier erstaunlich raffinierte Berechnungen anstellten. Als ein herausragender Beleg dafür galt bereits die etwa 3700 Jahre alte Keilschrifttafel mit der Bezeichnung „Plimpton 322“, die um 1900 im Süden des Iraks entdeckt wurde. Bereits vor einigen Jahren hat der Mathematiker Daniel Mansfield von der University of New South Wales in Sydney diesem Fund eine Analyse gewidmet. Er untermauerte dabei die Erklärung, dass die Schriftzeichen eine trigonometrische Tabelle darstellen. „Es wird allgemein angenommen, dass die Trigonometrie – der Zweig der Mathematik, der sich mit dem Studium von Dreiecken befasst – von den alten Griechen entwickelt wurde“, sagt Mansfield. „Aber offenbar haben schon zuvor die Babylonier eine spezielle Form der ‚Proto-Trigonometrie‘ entwickelt“, so der Mathematiker.

Warum beschäftigten sich die Babylonier mit Trigonometrie?

Bereits 2017 spekulierte er über den möglichen Zweck der Plimpton 322-Tafel und stellte die Hypothese auf, dass sie wahrscheinlich einen praktischen Hintergrund besessen hat: Vielleicht diente sie Berechnungen im Zusammenhang mit der Konstruktion von Gebäuden und Kanälen oder zur Vermessung von Feldern. Letzteres bestätigt nun die aktuelle Untersuchung der Tontafel mit der Bezeichnung Si.427, die 1894 in der heutigen Provinz Bagdad im Irak entdeckt wurde. Wie Mansfield berichtet, musste er dieses Artefakt allerdings erst in geradezu detektivischer Weise aufspüren. Durch eine Beschreibung in alten Ausgrabungsberichten war er auf diese Tafel aufmerksam geworden. Den Informationen zufolge war sie damals nach Istanbul gelangt. „So machte ich mich auf die Suche und sprach mit vielen Leuten in türkischen Ministerien und Museen“, berichtet Mansfield. Der Aufwand war schließlich von Erfolg gekrönt: Der Wissenschaftler konnte die Tafel im Archäologischen Museum Istanbul ausfindig machen und sie anschließend studieren.

Wie er berichtet, stammt Si.427 aus der altbabylonischen Periode von 1900 bis 1600 v. Chr. und damit aus der gleichen Ära wie Plimpton 322. Aus seinen Analysen der Zeichen geht hervor, dass es sich bei Si.427 um eine Art Katasterdokument handelt – einen Plan, der von Vermessungsingenieuren zur Festlegung von Landgrenzen verwendet wurde. „Es geht um rechtliche und geometrische Details mit Bezug zu einem Feld, das nach einem Verkauf aufgeteilt wurde“, so Mansfield. Das Besondere ist dabei: Der Vermesser nutzte das heute als Pythagoreische Tripel bekannte System, um genaue rechte Winkel zu bestimmen. Diese Schrifttafel entstand aber über tausend Jahre vor der Geburt des griechischen Gelehrten Pythagoras, hebt Mansfield hervor.

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Pythagoreische Tripel werden von drei natürlichen Zahlen gebildet, die als Längen der Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks vorkommen können, beispielsweise durch das Tripel 3,4,5. Mit den Seitenlängen solcher Dreiecke lassen sich somit auch rechte Winkel konstruieren. Wie Mansfield erklärt, gab es bei den Babyloniern dabei allerdings Besonderheiten. Denn sie verwendeten kein Dezimalsystem, sondern eine auf 60 basierende Mathematik, die unserer Zeiteinteilung ähnelte. Dies wirft ihm zufolge wiederum Licht auf die Plimpton 322-Tafel: „Es scheint, als ob der Hersteller pythagoreische Formen durchging, um die nützlichen zu finden“, so Mansfield. Er vermutet somit, dass Herausforderungen bei der Landvermessung die Grundlage für die Tabellen auf Plimpton 322 bildeten.

Rechte Winkel für die Landvermessung

„Si.427 verdeutlicht erstmals klar, warum sich die alten Babylonier für Geometrie interessierten – nämlich um präzise Landgrenzen festzulegen“, sagt Mansfield. „Diese Tafel stammt aus einer Zeit, in der Land allmählich zum Privatbesitz wurde – die Menschen begannen, über Land im Sinne von ‚mein Land und dein Land‘ nachzudenken und wollten eine genaue Grenze festlegen, um gute nachbarschaftliche Beziehungen zu ermöglichen. Genau das zeigt diese Tafel: Ein Feld wird geteilt, und es werden neue Grenzen gezogen“, so der Wissenschaftler.

Ihm zufolge liefern auch andere Schrifttafeln Hinweise auf diese Vorgehensweisen bei der Abgrenzung von Landbesitz in der altbabylonischen Kultur: „Beispielsweise ist in einem Fall von Streit um wertvolle Dattelpalmen an der Grenze zwischen zwei Grundstücken die Rede. Der örtliche Verwalter erklärt sich dabei bereit, einen Landvermesser zu entsenden, um den Konflikt zu schlichten. Es wird deutlich, wie wichtig Genauigkeit bei der Beilegung von Streitigkeiten zwischen damals mächtigen Personen war“, sagt Mansfield.

Der Erforschung der babylonischen „Proto-Trigonometrie“ will er sich nun auch weiterhin widmen: Er hofft, weitere Fälle von angewandter Geometrie im alten Mesopotamien aufdecken zu können. Außerdem gibt es ihm zufolge noch ein Rätsel bei Si.427, das er gerne lösen möchte: Auf der Rückseite der Tafel sind mysteriöse Zahlen angegeben. „Ich kann bisher nicht herausfinden, was sie bedeuten. Ich bin sehr daran interessiert, mit Historikern oder Mathematikern zu diskutieren, die vielleicht eine Idee haben, was uns diese Zahlen sagen wollen!“, so Mansfield.

Quelle: University of New South Wales

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