Das glaube ich nicht
Vor zwei Jahren verurteilte ein britisches Gericht die erfolgreiche Anwältin Sally Clark, weil sie im Laufe eines Jahres ihre wenige Monate alten Söhne Christopher und Harry getötet habe. Die Kammer wollte nicht glauben, daß beide Kleinkinder dem Plötzlichen Kindstod zum Opfer gefallen waren. Die Wahrscheinlichkeit für zwei solche Fälle in einer Familie liege bei 1 zu 73 Millionen, hatte der Gutachter Sir Roy Meadow behauptet, und das Gericht glaubte ihm. Doch der hochangesehene Kinderarzt war einem Denkfehler erlegen. „Verurteilt aufgrund eines mathematischen Irrtums?”, fragte das „British Medical Journal” in einem Leitartikel. Auch die Londoner Berufungsinstanz befand vergangenes Jahr, das Gericht hätte das Rechenkunststück der medizinischen Koryphäe verwerfen müssen, sprach allerdings Sally Clark aufgrund anderer Indizien trotzdem schuldig. Worin lag der Irrtum von Sir Roy? Er hatte die Wahrscheinlichkeit quadriert, daß ein Baby am plötzlichen Kindstod stirbt, genau wie beim Roulette die Chance, daß „Rot kommt”, quadriert werden muß, um die Wahrscheinlichkeit von „zweimal Rot hintereinander” zu erhalten. Sein Fehler: So ergibt sich das Risiko, daß eine ganz bestimmte Familie zweimal heimgesucht wird. Doch Familie Clark stand ja nicht von vornherein unter Verdacht. Ebensogut könnte man jeden Lottogewinner mit der Begründung verhaften, er könne angesichts der extrem geringen Chancen unmöglich rechtmäßig zu seinem Gewinn gekommen sein. Aber er spielt eben nicht als einziger.
Die Wahrscheinlichkeit, daß irgendeine britische Familie zwei Babys verliert, ist sogar noch wesentlich höher, als Sir Roy kalkulierte. Bei den gegenwärtigen Verhältnissen liegt sie rein mathematisch bei 1 zu 8500. In Wirklichkeit ist sie größer, weil nicht genau bekannte Risikofaktoren die Gefahr für manche Familien vervielfachen. Darum ist in Großbritannien alle anderthalb Jahre mit zwei unerklärlich verstorbenen Babys in ein und derselben Familie zu rechnen.
Doch nicht nur adligen Medizinern und niedrigen Richtern fällt es schwer, Wahrscheinlichkeiten richtig zu deuten. Da gab es etwa den amerikanischen Fernseh-Meteorologen, der für Samstag und Sonntag jeweils eine Regenwahrscheinlichkeit von 50 Prozent vorhersah und prophezeite, daß es am Wochenende insgesamt mit hundertprozentiger Sicherheit regnen würde. Ein Drittel der Deutschen wiederum ist laut einer Emnid-Umfrage nicht in der Lage, die Angabe „40 Prozent” richtig zu deuten. Eine Fraktion glaubt, dies entspreche einem Viertel, die andere tippt auf „ jeder vierzigste”.
Wer es besser weiß, sollte nicht allzu laut lachen. Sowie es ein bißchen komplizierter wird, tappt auch die Mehrheit gebildeter Leute in die Fallen statistischen Denkens. „ Zahlenblindheit”, das mathematische Gegenstück zum Analphabetentum, ist weit verbreitet. „Nicht nur Laien, sondern auch Experten haben oft nicht gelernt, Risiken richtig zu verstehen”, konstatiert Psychologieprofessor Gerd Gigerenzer vom Berliner Max-Planck-Institut für Bildungsforschung. Sein Team demonstriert diesen Mißstand in immer neuen Studien, die demnächst unter dem Titel „How to Reckon with Risk” erscheinen. In zwei Gebieten können schon kleine intellektuelle Ausfälle großen Schaden anrichten: Medizin und Jurisprudenz.
Vergleichsweise harmlos war der Fall eines befreundeten Psychiaters. Der verschrieb depressiven Patienten Fluctin – nicht ohne die Warnung, das Risiko von Nebenwirkungen wie Impotenz liege bei 30 bis 50 Prozent. Das beunruhigte die Patienten zwar, aber sie fragten nicht nach. Erst nach Gesprächen mit Gigerenzer fand der Psychiater heraus, daß sie ihn nicht richtig verstanden: Sie rechneten mit Schwierigkeiten in 30 bis 50 Prozent ihrer Liebesnächte. Gemeint war aber, daß 30 bis 50 Prozent der Patienten dauerhaft Probleme bekommen würden. „Über Jahre hatte mein Freund nicht bemerkt, daß das, was er sagen wollte, nicht das war, was seine Patienten hörten”, berichtet Gigerenzer. Sie verstanden den Arzt aber sofort, als er auf den Rat Gigerenzers von da an sagte: Von zehn Patienten, die Fluctin nehmen, bekommen drei bis fünf Probleme mit ihrem Sexualleben.
Gigerenzer empfiehlt deshalb generell, konkrete Angaben wie Patientenzahlen statt Prozentsätzen zu verwenden: „Wer über Risiken nachdenkt oder redet, sollte Häufigkeiten statt Wahrscheinlichkeiten benutzen.” Die nach professoraler Spitzfindigkeit klingende Unterscheidung kann dramatische Folgen haben – zum Beispiel, wenn ein DNA-Test jemanden eines Kapitalverbrechens überführen soll. Hier wird das Erbgut des Angeklagten mit einer Spur verglichen, die der Täter hinterlassen hat, etwa während einer Vergewaltigung. Selbst Rechtsmediziner behaupten immer wieder: Wenn die Analyse eine Übereinstimmung zeigt, ist darauf hundertprozentig Verlaß. Doch wie jeder Test hat auch eine DNA-Untersuchung ihre Fehlerquote. Deshalb drückt sich ein Gutachter vor Gericht ungefähr so aus: Die Wahrscheinlichkeit, daß eine solche Übereinstimmung zufällig zustande kommt, liegt bei 0,001 Prozent. Gigerenzer: „Da sehen wir den Angeklagten schon hinter Gittern” – selbst wenn der DNA-Vergleich das einzige Indiz sein sollte.
Obwohl die vom Gutachter vorgetragene Wahrscheinlichkeitsangabe stimmt, führt sie in die Irre. Das zeigt sich, wenn die gleiche Aussage als Häufigkeit vorgetragen wird: Von 100000 Männern wird zufällig einer eine Übereinstimmung bescheinigt bekommen. „Dann denken Sie sofort: Wie viele Männer gibt es beispielsweise in Berlin?”, erläutert Gigerenzer. „Oh, eine Million – also kämen allein in dieser Stadt zehn Männer in Frage.”
Gigerenzers Team ließ fortgeschrittene Jurastudenten und Rechtsgelehrte über den Akten authentischer Fälle brüten, in denen lediglich die Präsentation der DNA-Ergebnisse manipuliert worden war (den Kern der Aufgaben finden Sie in den Problemkästen „Sie sind der Richter” und „Wieder sind Sie der Richter”). Wurden die Daten, wie unter Experten üblich, als Wahrscheinlichkeiten angegeben, kamen nur ein Prozent der Studenten und lediglich zehn Prozent der erfahrenen Juristen auf die richtige Lösung.
Informationen über die Häufigkeit brachten dagegen 40 Prozent des Nachwuchses und sogar 70 Prozent der Profis auf die richtige Spur. Der angesichts der Sachlage wahrscheinlich unschuldige Angeklagte hätte davon profitiert: Statt vorher weit über 50 Prozent der Studenten und gut 40 Prozent der erfahrenen Juristen wollten ihn nun nur noch 30 Prozent in beiden Gruppen verurteilen.
Warum macht es so einen großen Unterschied, wie die Informationen präsentiert werden? Um mit Wahrscheinlichkeiten zur Lösung zu kommen, muß eine unanschauliche Formel verwendet werden. Wenn der Gutachter dagegen Häufigkeiten vorträgt, hat er den Zuhörern einen Teil der Rechnerei abgenommen, und zum Ergebnis sind es nur noch wenige, leichte Schritte.
Es hat aber wohl noch eine tiefere Ursache, daß Häufigkeiten leichter verstanden werden. Das Gehirn hat sich im Laufe der Evolution auf Häufigkeiten eingestellt, denn sie begegnen ihm seit Urzeiten: Mit fünf von acht der zuletzt gefundenen weißen Steine ließ sich Feuer machen. Sieben von zwölf Stammesmitgliedern sind erkrankt, nachdem sie von dem schon angegammelten Mammut gespeist hatten. In einer von zehn Höhlen lauert erfahrungsgemäß ein Höhlenbär.
Die Wahrscheinlichkeitstheorie dagegen wurde erst im 17. Jahrhundert entwickelt, und die Prozentrechnung setzte sich erst mit der Einführung des metrischen Systems im 19. Jahrhundert durch. Deren Grundidee hat sich zwar mittlerweile herumgesprochen. Doch sobald verschiedene Prozentangaben sinnvoll miteinander verrechnet werden müssen, verrennen sich selbst Fachleute.
Was bedeutet es eigentlich, wenn eine Frau ohne besondere Risikofaktoren sicherheitshalber zur Mammographie geht und das Röntgenbild hochverdächtig ausfällt? Wie wahrscheinlich ist es dann, daß sie tatsächlich Brustkrebs hat? Als Gigerenzer und sein Mitarbeiter Ulrich Hoffrage 48 deutsche Ärzte um ihre Meinung baten, schwankten die Schätzungen wild zwischen 1 und 90 Prozent, wobei sich zwei Drittel für eine Zahl über 50 Prozent entschieden (siehe nebenstehende Grafik). Die richtige Antwort liegt bei 8 Prozent – doch nur zwei Mediziner konnten dies aus den Angaben richtig berechnen.
Anders präsentiert ist dasselbe Problem viel einfacher zu durchschauen: Von 1000 Frauen, die nur aus Vorsorgegründen zur Mammographie gehen, haben acht einen Tumor in der Brust, sieben dieser Krebserkrankungen findet die Durchleuchtung tatsächlich. Diesen wenigen wirklich kranken Frauen stehen aber 70 gesunde Frauen gegenüber, bei denen die Mammographie aufgrund ihrer Fehlerrate fälschlich Alarm gibt. Am Ende haben also von 77 Frauen mit auffälligem Befund nur sieben tatsächlich Brustkrebs – lediglich acht Prozent. Solange es aber in wissenschaftlichen Büchern und Fachblättern nur so von Prozentangaben wimmelt, hilft allein, sie schnell in Häufigkeiten zu übersetzen. Genau das brachten die Berliner Forscher einer Gruppe von Studenten mit einem zweistündigen, computerisierten Lernprogramm bei. Eine andere Gruppe trainierte mit der mathematischen Formel. Der Umgang mit der Formel war schnell vergessen – und schon drei Monate nach dem Training war die Hälfte des Lerneffekts verschwunden. Die Studenten, die mit Häufigkeiten operierten, schafften dagegen eine Quote von 100 Prozent richtigen Antworten.
zwei Probleme Sie sind der Richter Zehn Millionen Männer kommen theoretisch als Täter im heute verhandelten Vergewaltigungsfall in Frage. Außer ein paar vagen Hinweisen, die vor Gericht nicht verwertbar sind, gibt es nur ein einziges Indiz: einen DNA-Vergleich. Der Gutachter gibt zu Protokoll, daß die DNA eines zufällig aus der Bevölkerung herausgegriffenen Mannes mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,0001 Prozent das gleiche Profil wie die am Tatort gefundene DNA aufweisen würde. Die DNA-Analyse würde eine solche Übereinstimmung praktisch mit Sicherheit zeigen. Wenn jemand ein anderes DNA-Profil habe als die Spur, würde die DNA-Analyse beim heutigen Stand der Technik lediglich mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,001 Prozent trotzdem eine Übereinstimmung zeigen. Wie die zur Debatte stehende Analyse zeige, so der Gutachter, stimme das Profil der DNA des Angeklagten mit dem DNA-Profil der Spur überein.
Frage 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Übereinstimmung zutrifft – der Angeklagte also tatsächlich das gleiche DNA-Profil hat wie die Spur?
Frage 2: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Angeklagte der Urheber der Spur ist? Frage 3: Wie lautet Ihr Urteil: schuldig oder nicht?
Sie sind Aids-Berater Zu Ihnen kommt ein junger Mann, der wissen will, ob er mit dem HI-Virus infiziert ist. Er ist nicht homosexuell, hat nie Drogen gespritzt und sich auch sonst keinen ungewöhnlichen Risiken ausgesetzt. Bevor er den Test macht, will er wissen, was ein positives Resultat bedeuten würde. Sie wissen: Wenn ein Untersuchter das Virus in sich trägt, wird ihn der Test aller Wahrscheinlichkeit nach finden – daß jemand übersehen wird, ist so selten, daß Sie diese Möglichkeit vernachlässigen können. Wenn ein Untersuchter das Virus nicht in sich trägt, wird der Test nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,01 Prozent Alarm schlagen. Wenn jemand, so wie Ihr Klient, zu keiner Risikogruppe gehört, trägt er das Virus mit einer statistischen Wahrscheinlichkeit von 0,01 Prozent in sich.
Nun zur Frage des jungen Mannes: Sollte der Test positiv ausfallen – mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er dann tatsächlich infiziert?
Wie auch immer Sie hier antworten sollten: Sie werden nicht krasser danebenliegen als die meisten professionellen Aids-Berater. Die Lösungen zum Richter- und zum Aids-Berater-Problem erfahren Sie nach dem Umblättern.
zwei Probleme – IN NEUAUFLAGE Wieder sind Sie der Richter Wieder ist der DNA-Vergleich Ihr einziges Indiz, wieder kommen zehn Millionen Männer theoretisch als Vergewaltiger in Frage. Der Gutachter gibt zu Protokoll, daß etwa zehn von ihnen das gleiche DNA-Profil aufweisen wie die am Tatort gefundene Spur. Diese Übereinstimmung zeigt die DNA-Analyse praktisch mit Sicherheit an. 9999990 Männer weisen dieses Profil nicht auf – unter ihnen gibt der DNA-Test beim heutigen Stand der Technik in 100 Fällen fälschlich eine Übereinstimmung an. Das Ergebnis der Analyse im vorliegenden Fall lautet: Die Profile der Angeklagten-DNA und der Tatort-DNA stimmen überein.
Frage 1: Wie viele Männer, bei denen die DNA-Analyse eine Übereinstimmung anzeigt, haben tatsächlich das gleiche DNA-Profil wie die Spur?
Frage 2: Wie viele Männer, deren DNA mit der Spuren-DNA übereinstimmt, sind tatsächlich Urheber der Spur?
Frage 3: Wie lautet Ihr Urteil: Schuldig oder nicht schuldig?
Auflösung: Wie Sie bemerkt haben, entspricht dieses Problem genau dem Richter-Problem auf Seite 82. Aber es ist diesmal leichter zu lösen, weil die Angaben anders präsentiert wurden.
Zu Frage 1: Dem Experten zufolge haben zehn Männer unter den in Frage kommenden 10 Millionen dasselbe DNA-Profil wie die Spur, die Analyse weist allerdings fälschlich bei 100 weiteren eine Übereinstimmung aus. Von den insgesamt 110 inkriminierten Männern haben aber nur zehn wirklich das gleiche DNA-Profil, also etwa jeder zehnte. Zu Frage 2: Nur ein einziger unter den 110 ist tatsächlich der Urheber der Spur. Wie lautet Ihr Urteil nun – plädieren Sie immer noch auf „schuldig”?
Wieder sind Sie Aids-Berater Wieder will ein junger Mann wissen, was ein positiver Aids-Test bedeuten würde. Doch diesmal werden die wichtigen Angaben anders präsentiert: Von 10000 jungen Männern ohne besondere Risikofaktoren ist einer infiziert. Diesen Infizierten wird der Test aufspüren – doch unter den 10000 jungen Männern auch einen fälschlich als infiziert bezeichnen. Was sagen Sie nun Ihrem Klienten?
Auflösung: So gestellt, ist seine Frage leicht zu beantworten. Unter 10000 Männern erhält einer ein positives Ergebnis, weil er wirklich infiziert ist, und einer, weil der Test einen seiner seltenen Fehler gemacht hat. Von zwei positiv Getesteten trägt einer das Virus in sich – die Wahrscheinlichkeit, infiziert zu sein, beträgt also für jeden 50 Prozent.
Selbst Beratungsprofis durchschauen diesen Zusammenhang nicht, wie ein inkognito vorsprechender Forscher vom Max-Planck-Institut für Bildungsforschung erfuhr. Er besuchte 20 deutsche Aids-Beratungsstellen, wo ihn zumeist Ärzte empfingen. Drei verweigerten die Auskunft zur Verläßlichkeit des Tests. Zehn erklärten ein positives Ergebnis für absolut verläßlich, vier weitere nannten 99,9 Prozent Sicherheit. Eine Beraterin hatte wenigstens das Prinzip verstanden: Wenn ein Getesteter zu keiner Risikogruppe gehöre, könne ein positives Testergebnis eventuell falsch sein. Allerdings schätzte auch sie diese Chance mit 5 bis 10 Prozent viel zu niedrig ein. Viele Menschen schweben nach einem fälschlich positiven Aids-Test jahrelang in Angst, bevor sich der Irrtum klärt. Manche nehmen sich das Leben.
Kompakt Im Dschungel der Statistik: Nur zehn Prozent der Juristen zogen aus Gutachteraussagen den richtigen Schluß – nach einem Nachhilfekurs in Sachen Wahrscheinlichkeitsrechnung waren es 70 Prozent. Auch viele Akademiker können „Wahrscheinlichkeit” und „Häufigkeit” nicht klar auseinanderhalten.
Bdw community Internet Geplante Webseiten der ABC-Gruppe des MPI für Bildungsforschung im Bereich Didaktik der Stochastik http://www-abc.mpib-berlin.mpg.de/users/wassner/
BasicBayes – das von Gerd Gigerenzer und Peter Sedlmeier entwickelte Trainingsprogramm zum Denken in Wahrscheinlichkeiten. BasicBayes läuft nur auf Apple-Rechnern, und auch da nur mit Mac OS 7 oder 8. http://www-psycho.uni-paderborn.de/sedl/ sedl.html
Lesen Gerd Gigerenzer HOW TO RECKON WITH RISK: FROM INNUMERACY TO INSIGHT Simon and Schuster 2001 erscheint auf Deutsch im Berlin Verlag
Peter Sedlmeier, Detlef Köhlers WAHRSCHEINLICHKEITEN IM ALLTAG Statistik ohne Formeln Westermann 2001, DM 29,– (mit einer neuen Version des Lernprogramms)
Hans-Peter Beck-Bornholdt DER HUND, DER EIER LEGT Erkennen von Fehlinformation durch Querdenken Rowohlt 2001, DM 18,90
Walter Krämer DENKSTE! Trugschlüsse aus der Welt des Zufalls und der Zahlen Piper 2000, DM 14,90
Walter Krämer SO LÜGT MAN MIT STATISTIK Campus 1997, DM 29,80
Jochen Paulus
