Ein Kreisel, der kopfsteht - wissenschaft.de
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Ein Kreisel, der kopfsteht

Warum hebt der Wendekreisel seinen Schwerpunkt freiwillig in die höchste Lage? Die überraschende Bewegung des Stehaufkreisels, häufig auch Tippetopp genannt, ist seit annähernd 100 Jahren Gegenstand wissenschaftlicher Untersuchungen – ein Spielzeug zum Staunen.

Das Patent No 63261 des Kaiserlichen Patentamts in Berlin, erteilt an Fräulein Helene Sperl, sicherte der Münchnerin vom 7. Oktober 1891 an die Rechte an einem „Wendekreisel“. Die am 12. Juli 1892 ausgegebene Patentschrift erklärt dazu:

„Der Erfindungsgegenstand besteht aus einem Kreisel, welcher massiv oder hohl, aus Metall, Holz oder aus einem beliebigen Stoff hergestellt sein kann, dessen untere Fläche beiläufig die Form einer Halbkugel zeigt, während die obere Fläche beliebige Formen (eben, ausgehöhlt oder gewölbt) haben kann. Senkrecht zur Mitte der oberen Fläche und mit dieser fest zusammenhängend ist ein Stiel angeordnet, durch welchen der Kreisel mittelst der Hand in Drehung versetzt wird.“ Der Kreisel kehrt, wie man weiter lesen kann, „bei Versetzung in Drehung zuerst die mit dem Stiel versehene Seite, sodann aber die halbkugelförmige Fläche nach oben“.

Nach den erhobenen Patentansprüchen hat bereits die Erfinderin erkannt, daß die Lage des Schwerpunkts auf der Symmetrieachse des Kreisels für sein Wendevermögen entscheidende Bedeutung hat. Sie erklärte auch zutreffend, daß der Wendevorgang durch unvermeidliche „kleine Schwankungen“ der Kreiselachse eingeleitet werde. Mit anderen Worten: Die Rotation des Kreisels auf seinem bauchigen Körper um die Symmetrieoder Figurenachse ist instabil. Wie der Kreisel das erstaunliche Wendemanöver fertigbringt, bei dem er sogar seinen Schwerpunkt anheben muß, wird in der Patentschrift nicht erklärt.

Des Rätsels Lösung: In Zaubererkreisen war schon lange bekannt, daß sich eine einseitig durch eine Bleieinlage beschwerte hölzerne Kugel bei langsamer Bewegung wie eine Stehauf-Figur verhält. Versetzt man die Kugel in hinreichend rasche Drehung um die Vertikale als Achse und überläßt sie danach sich selbst, wandert das Blei, wo auch immer es sich zu Anfang der Bewegung befand, nach oben bis in die höchste Lage. Es ist allerdings nicht leicht, einer Kugel von etwa fünf Zentimeter Durchmesser mit den bloßen Händen genügend Bewegungsenergie für das Wenedemanöver mitzugeben. Diesen Umstand machte sich die Münchner Erfinderin zunutze. Sie schnitt kurzerhand ungefähr die halbe Kugel ab und brachte dafür einen schlanken Stiel an. Der Kreisel hat nun seinen Schwerpunkt auch ohne Bleibeschwerung unterhalb der Kugelmitte. Doch das Wichtigste: Der Kreisel läßt sich an seinem schlanken Stiel bequem mit zwei Fingern starten und auf hohe Drehgeschwindigkeit bringen.

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Stehaufkreisel haben den Schwerpunkt unterhalb des Mittelpunkts ihres Kugelkörpers. Beim Wenden heben sie deshalb den Schwerpunkt um eine Höhe h an, die von der Exzentrizität e des Schwerpunkts und der Länge f abhängt, um die der Stiel den Durchmesser der Kugel überragt: h = f + 2e.

Ohne Reibung keine Wende: Daraus läßt sich aus physikalischen Gründen schließen, daß Haftungs- oder Reibungskräfte der Unterlage für das Wendemanöver des Kreisels nötig sind. Angelo Del Campo widerlegte damit 1955 die von John L. Synge 1952 aufgestellte Behauptung, der Kreisel könne sich auch auf einem vollständig glatten Tisch umdrehen.

Wenn C das Trägheitsmoment des Kreisels um seine (senkrechte) Symmetrie- oder Figurenachse und w seine Winkelgeschwindigkeit bedeuten, sind D = Cω sein Drehimpuls oder „Spin“ um diese Achse und T = Cω2/2 die entsprechende kinetische (oder Bewegungs-)Energie, unabhängig davon, ob der Kreisel auf seinem Kugelkörper oder auf seinem Stiel kreiselt.

Zu Beginn dreht sich der Kreisel auf dem Kugelkörper um die senkrechte Figurenachse mit der Winkelgeschwindigkeit ωa, nach der Wende auf dem Stiel um die gleiche Achse mit der Winkelgeschwindigkeit ωb. Da sich die kinetische Energie des Kreisels beim Wenden um den Betrag der potentiellen Energie mgh verringert, der zur Hebung des Schwerpunkts auf die Höhe h aufgebracht werden muß, und kinetische Energie außer durch Speicherung als potentielle (oder Lage-)Energie auch durch Reibungsverluste verlorengeht, gilt für den Verlust an kinetischer Energie eines Kreisels der Masse m C/2 ωa2 – C/2 ωb2 >mgh>0

Dem Betrag nach ist also ωb kleiner als ωa. Daher ist die Änderung der Vertikalkomponente des Drehimpulses bei der Wende von 0 verschieden: C ωb – C ωa = ∫ Mvertdt≠0

Die Änderung des vertikalen Drehimpulses wird von der über die Zeit summierten (integrierten) Vertikalkomponente Mvert des Drehmoments bewirkt. Ein solches Drehmoment kann die Unterlage nur dann aufbringen, wenn zwischen Kreisel und Tisch nicht nur Stützkräfte (vertikal), sondern auch Haftungs- oder Reibungskräfte (horizontal) wirken. Ob die Reibungskraft von der Größe der Gleitgeschwindigkeit abhängt oder nur von deren Richtung, ob sich Haftung und Gleitreibung ständig abwechseln oder von welcher Art die Kräfte zwischen Kreisel und Unterlage sonst sein können, läßt sich nicht aus allgemeinen Prinzipien ableiten.

Kleine Ursache, große Wirkung: Aus Symmetriegründen sollten perfekt kreissymmetrisch gebaute Wendekreisel bei genau vertikaler Figurenachse mit hinreichend großem Spin sowohl auf ihrem Kugelkörper als auch auf ihrem Stiel kreiseln können. Man beobachtet aber nur, daß sie es auf dem Stiel tun, und zwar unabhängig davon, ob sie durch Wenden in die Überkopflage gekommen sind oder gleich in dieser Lage in Bewegung gesetzt wurden. Während die Drehung auf dem Stiel, wie man leicht nachprüft, gegen Störungen wenig empfindlich ist (also stabil ist), wachsen Störungen der Drehung auf dem Kugelkörper an und leiten die Wende ein. Diese Drehung ist zwar theoretisch möglich, aber instabil.

Der Erfinder Oskar Hummel aus Stuttgart hatte die Idee, die instabile Drehung des Kreisels durch einen minimalen Eingriff stabilisierbar zu machen. Er ließ sich 1953 einen Kreisel mit einem sogenannten Antriebszapfen patentieren, worunter ein durch die Achse des Tippetopp geführter Stift zu verstehen ist, der nur einen Millimeter länger als der ganze Kreisel ist. Drückt man den Stift an der Oberseite des Stiels herunter, ragt an der Unterseite des Kugelkörpers eine kleine Spitze heraus. Auf dieser Spitze kreiselnd macht der Tippetopp keine Anstalten mehr zu wenden.

Was sich beim Herausdrücken der kleinen Spitze drastisch verändert – von einem Wert etwas über 1 zu etwa 1/15 -, ist das Verhältnis des Krümmungsradius der Oberfläche im Fußpunkt des Kreisels zur Höhe des Schwerpunkts. Dieses Verhältnis entscheidet offensichtlich über Stabilität oder Instabilität der Drehung, und diese Beobachtung läßt sich auch durch die Stabilitätstheorie begründen.

Die Wende: Wie herum dreht sich der Kreisel nach der Wende, wenn er im Uhrzeigersinn drehend gestartet wurde? Ich weiß keinen anderen Weg zur Antwort als das Ausprobieren. Meine zahlreichen Stehaufkreisel drehen sich nach der Wende sämtlich im Uhrzeigersinn weiter, was aber nicht bedeuten muß, daß es alle Wendekreisel tun. Die Drehachse ist nach dem Wenden wieder senkrecht. Sie ist also durch den Kreisel oder der Kreisel durch die Drehachse gewandert.

In der Anfangs- und der Schlußphase des Wendevorgangs, in denen sich der Kreisel auf seinem Körper beziehungsweise seinem Stiel dreht, besitzt der Wendekreisel fünf Freiheitsgrade der Bewegung (je drei der Translation und der Drehung minus einen für die Bindung an die Tischfläche). Die Bewegung wird daher durch fünf Lagekoordinaten in Abhängigkeit von der Zeit beschrieben. Bemerkenswert ist vor allem die mittlere Phase, in der der Kreisel nur vier Freiheitsgrade besitzt. In dieser Phase dreht er sich eine Zeitlang sozusagen im Liegestütz, auf die zwei Fußpunkte des Körpers und des Stiels gestützt, während die Stützkraft allmählich vom Kugelkörper auf den Stiel übergeht. Am Ende hebt der Körper vom Tisch ab und der Kreisel stellt sich auf den Stiel, sofern die Energie des Kreisels groß genug ist.

Im Laufe von fast 100 Jahren sind ungezählte wissenschaftliche Aufsätze über den Stehaufkreisel geschrieben worden, die sich hier weder darstellen noch referieren lassen. Manche der älteren Arbeiten haben nach meiner Einschätzung durch ihre qualitativen Aussagen von umfassender Gültigkeit einen höheren Erkenntniswert für die Physik des erstaunlichen Spielzeugs als numerische Rechnungen aus neuerer Zeit, die auf adhoc-Annahmen über die Kräfte zwischen Kreisel und Unterlage beruhen und den Kreisel gelegentlich sogar vereinfachend durch die erwähnte Kugel mit exzentrischem Schwerpunkt modellieren.

Diese Arbeiten reichen von mathematischen Simulationen einer Haft-Gleit-(„stick-slip-„)Bewegung bis zum Ansatz einer Geschwindigkeits-proportionalen Reibungskraft. Allen Autoren gelingt es, den Kreisel theoretisch zum Wenden zu bringen. Welcher physikalische Prozeß aber wirklich stattfindet, könnte nur eine experimentelle Prüfung klären.

Wolfgang Bürger

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