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Die Zahlengerade kennt jeder aus der Schulzeit

Das Kontinuum der Zahlengeraden brachte einige Mathematiker fast um den Verstand, als sie die bizarre Welt des Unendlichen erkundeten.

Die Zahlengerade kennt jeder aus der Schulzeit: eine Linie, auf der sich im Prinzip alle Dezimalzahlen eintragen lassen. Doch was sieht man, wenn man diese Linie unter dem gedanklichen Mikroskop betrachtet? Bleibt sie ein lückenloses „Kontinuum“ einer geraden Linie – oder zerfällt sie in eine Menge von Zahlen, markiert durch Punkte, die dicht bei dicht nebeneinander liegen? Das Kontinuum der Zahlengeraden und die Punkte darin haben manche Wissenschaftler angeblich an den Rand des Wahnsinns gebracht – und in gewisser Weise sogar die Mathematik gespalten. Denn die Fragen rund um das Kontinuum stecken voller mathematischem Sprengstoff. Sind auf der Zahlengeraden nur reelle Zahlen zu finden? Oder verstecken sich dazwischen andere? Ist 0,999999… = 1 (wie man es heute noch in der Schule lernt) oder nur fast 1? Und: Besteht die Zahlengerade aus Punkten? Wenn ja, wie viele sind das? Und was ist, wenn nicht? Seltsam daran ist: Viele dieser Fragen lassen sich sowohl mit „Ja“ als auch mit „Nein“ beantworten. Deshalb gibt es heute nicht „die“ Mathematik, sondern viele Mathematiken. Doch wie konnte sich die Mathematik aufspalten, ohne dass es die Öffentlichkeit überhaupt bemerkt hat?

Dass die reelle Zahlengerade eine Art Zwitternatur besitzt – sowohl Kontinuum als auch Punktmenge ist –, wird heute in der Mathematik weitgehend kommentarlos hingenommen. Doch vor etwa 150 Jahren, als die Zahlengerade erfunden wurde, sorgte es für Verunsicherung. Damals begann Georg Cantor (1845 bis 1918), Professor für Mathematik in Halle, unendliche Punktmengen eingehend zu untersuchen und schuf dabei die Mengenlehre. Doch Cantor stieß nicht nur auf Zahlen, Punkte und Mengen. Er förderte auch kontinuierlich neue Fragen zutage – Fragen, die ehrwürdige Ansichten über das Kontinuum plötzlich alt aussehen ließen.

RaumsaucE zwischen den Punkten

Ein Beispiel dafür ist die These des griechischen Philosophen Aristoteles (384 bis 322 v.Chr.): Für ihn war das Kontinuum einfach nur kontinuierlich – also nichts, was in Punkte zerfallen konnte – und etwas reichlich Theoretisches obendrein. Denn die Geometrie der Griechen funktionierte auch ganz gut ohne „die kontinuierliche Raumsauce, welche zwischen den Punkten ergossen ist“. So spöttelte 1920 der Mathematiker Hermann Weyl (1885 bis 1955) in einem Text mit dem Titel „Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik“.

Die Krise, die Weyl meinte, nahm ihren Ausgang in Cantors neuen Fragen. Zum Beispiel in dieser: Wie viele Punkte befinden sich denn auf der Zahlengeraden, im Kontinuum? Das klingt harmlos, entwickelte sich aber zu einem regelrechten Aufreger-Thema, das in Cantors berühmte Kontinuumshypothese mündete: Die (unendliche) Anzahl der Punkte ist nach der Anzahl der natürlichen Zahlen die nächst größere unendliche Anzahl. Diese für den Alltagsverstand kurios anmutende Hypothese – unendlich sollte nicht gleich unendlich sein – wurde eines der großen mathematischen Probleme in der Geschichte der Mathematik. Vor 50 Jahren nabelte der Amerikaner Paul Cohen (1934 bis 2007) dieses Problem von der klassischen Mathematik ab – auf eine so überraschende Weise, dass ihm nur drei Jahre später dafür die Fields-Medaille verliehen wurde. Die Auszeichnung ist so etwas wie die olympische Goldmedaille für junge Mathematiker oder ein Nobelpreis. Doch statt frenetischen Beifall erntete er bei den Kollegen nur zurückhaltendes Raunen.

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Der Grund: Im Kontinuum steckt das Fundament der Mathematik, die reellen Zahlen. Dieses Fundament schien fest zementiert zu sein – bis Cohens Ergebnis auf dem Tisch lag. Er hatte vor 50 Jahren etwas Seltsames gezeigt: Man kann die Kontinuumshypothese sowohl bejahen als auch verneinen, und je nachdem, wie man sich entscheidet, folgt eine unterschiedliche Mathematik (siehe Kasten S. 71 „Gödel gegen Cohen“).

„Mengen sind geschlossene Säcke“

Seinen Ausgang nahm Cohens überraschendes Ergebnis in der Mengenlehre. Die unendlichen Mengen boten Ende des 19. Jahrhunderts einen schier unerschöpflichen Fundus an Problemen. Felix Bernstein, ein Schüler von Cantor, berichtete von dem deutschen Mathematiker Richard Dedekind (1831 bis 1916) Folgendes: Dedekind habe gesagt, für ihn seien Mengen „ geschlossene Säcke, die ganz bestimmte Dinge enthalten, von denen man nichts wisse, außer, dass sie vorhanden und bestimmt seien“. Cantor habe daraufhin „seine kolossale Figur“ aufgerichtet, erinnerte sich Bernstein: „Er beschrieb mit erhobenem Arm eine großartige Geste und sagte mit einem ins Unbestimmte gerichteten Blick: ,Eine Menge stelle ich mir vor wie einen Abgrund.‘ „

Tatsächlich hatte Cantor zu diesem Zeitpunkt beim Eintauchen in die Zahlengerade schon eine tiefgründige Antwort auf die Frage nach der Anzahl der reellen Zahlen gefunden: Im Abgrund der reellen Zahlen befänden sich unendlich viele Punkte – und zwar viel mehr, als es natürliche Zahlen gibt. Doch wie kann das sein – die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, … sind ja auch unendlich viele!

Unendliche Mengen unterschiedlicher Größe, das sieht nach einer Paradoxie aus – aber nur auf den ersten Blick. Schon 1851, etwa 20 Jahre vor Cantors Arbeiten zur Unendlichkeit, war ein kleines Buch mit dem Titel „Paradoxien des Unendlichen“ veröffentlicht worden. Autor war der kurz nach Verfassen des Manuskripts verstorbene Prager Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (1781 bis 1848), ein Priester und Mathematiker. Bolzano war wegen seiner sozialkritischen Ansichten von der Universität verwiesen worden, hatte sich aber privat weiter mit Mathematik befasst. Er hatte versucht, das Dickicht etwas zu lichten und dabei unter anderem geschrieben: „Nach unserer Erklärung kann niemand etwas Widerstreitendes, ja nur Auffallendes in dem Gedanken finden, daß eine unendliche Menge größer als eine andere sein soll.“

Ein einfaches Beispiel: Es gibt ebenso viele natürliche Zahlen wie gerade Zahlen – denn durch Verdoppeln jeder Zahl erhält man für jede Zahl jeweils eine gerade Zahl. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält also kleinere Teilmengen mit ebenso vielen Elementen wie die natürlichen Zahlen selbst!

Unendlich … UND NOCH MEHR

Unendliche Mengen sind also tückisch. Um den Abgründen zu entgehen, definierte Georg Cantor unendlich große Zahlen, die beschreiben, wie viele Elemente sich in einer unendlichen Menge befinden. Die unendliche Zahl der natürlichen Zahlen nannte er 0 („Aleph“ ist der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets). Rechnen kann man mit diesen Zahlen nicht im herkömmlichen Sinn, wie das Beispiel der geraden Zahlen zeigt: Es gibt 0 gerade und 0 ungerade Zahlen – zusammen bilden sie eine Menge, die immer noch 0 Elemente enthält.

Aber wie viele Zahlen enthält nun die Menge der reellen Zahlen? Auf den ersten Blick scheint klar: Mehr als 0 – schließlich befinden sich zwischen den natürlichen Zahlen unendlich viele weitere Zahlen, die sich als Dezimalbrüche schreiben lassen. Unendlich viele von ihnen sind „rationale Zahlen“, also Zahlen wie 1/2 oder 123/134. Unendlich viele andere sind „irrationale Zahlen“ wie 2 oder p – also Zahlen, die man nicht als Brüche der Form x/y mit zwei ganzen Zahlen x und y schreiben kann.

1872 hatte Cantor seinen Kollegen Richard Dedekind zufällig in einem Urlaub in der Schweiz persönlich kennengelernt. Danach entspann sich ein reger Briefwechsel, und 1873 bastelte Cantor in einem der Briefe einen einfachen Beweis, der zeigt: Es gibt ebenso viele rationale Zahlen wie natürliche Zahlen, ihre Anzahl beträgt also auch 0 . Es war ihm gelungen, die Bruchzahlen auf kunstvolle Weise zu zählen – eine nach der anderen, wie die natürlichen Zahlen. Nur wenig später drängte Cantor Dedekind in einem anderen Brief: „Entschuldigen Sie gütigst meinen Eifer für die Sache, wenn ich Ihre Güte und Mühe so oft in Anspruch nehme. Die Ihnen jüngst von mir zugegangenen Mittheilungen sind für mich selbst so unerwartet, so neu, dass ich gewissermassen nicht eher zu einer gewissen Gemüthsruhe kommen kann, als bis ich von Ihnen, sehr verehrter Freund, eine Entscheidung über die Richtigkeit derselben erhalten haben werde. Ich kann, so lange Sie mir nicht zugestimmt haben, nur sagen: je le vois, mais je ne le crois pas.“ Also: „Ich sehe es, aber ich glaube es nicht.“

CantorS Beweis

Cantor hatte nämlich einen Beweis konstruiert, dem er selbst nicht traute: Der Beweis besagte klipp und klar, dass es tatsächlich mehr reelle Zahlen als natürliche beziehungsweise rationale Zahlen gibt. Und das, obwohl man die reellen Zahlen aus den natürlichen Zahlen entstehen lassen kann.

Doch wie viele reelle Zahlen gibt es? Cantor ging fest davon aus, dass die Anzahl der reellen Zahlen, und damit die der Punkte im Kontinuum, genau 1 ist, die nächst größere unendliche Zahl nach 0, der Anzahl der natürlichen Zahlen. So wie zwischen 0 und 1 keine natürliche Zahl liegt, liege zwischen 0 und der Anzahl der reellen Zahlen keine weitere unendliche Zahl, glaubte Cantor. Diese Vermutung ging als Kontinuumshypothese in die Geschichte der Mathematik ein.

Dazu passt eine Vorstellung, wie sie heute noch in der Schule unterrichtet wird: Jedem Punkt auf der Geraden entspricht eine reelle Zahl und jeder reellen Zahl ein Punkt. Die Gerade, das Kontinuum, ist mit reellen Zahlen voll besetzt. Sie setzt sich gleichsam aus unendlich vielen Punkten zusammen.

Das war eine radikale Wende des mathematischen Denkens, weg von der 2200 Jahre alten Mathematik. Georg Cantor setzte diese Revolution in der Mathematik gegen heftige Widerstände durch – mit fast missionarischem Eifer und bis zu den Grenzen seiner psychischen Kräfte. Doch es sollte sich zeigen, dass selbst dieser geniale Mathematiker noch nicht radikal genug war.

Für Cantor wurde die Suche nach einem Beweis der Kontinuumshypothese zu einer Geschichte des Scheiterns. Manche behaupten sogar, er sei aufgrund der Suche verrückt geworden – was nicht stimmt. Tatsache ist jedoch, dass Cantor geistig umnachtet starb, ohne einen Beweis für seine Kontinuumshypothese gefunden zu haben.

Beweis unmöglich

Erst Jahre später zeigte sich der Grund für sein Scheitern. 1938 bewies der österreichische Logiker Kurt Gödel (1906 bis 1978), dass man die Gültigkeit der Kontinuumshypothese annehmen kann, ohne mit der gängigen Mathematik in Konflikt zu geraten, indem man nämlich sagt: Die reellen Zahlen haben 1 Elemente. 1963 machte Paul Cohen dann die Verwirrung perfekt. Er zeigte, dass man getrost auch das Gegenteil der Kontinuumshypothese annehmen darf – denn die Aussage „Die reellen Zahlen haben mehr als 1 Elemente“ ist auch nicht falsch. Kurzum: Die Hypothese über das Kontinuum lässt sich weder beweisen noch widerlegen. Deshalb konnten Cantors Beweisversuche nicht gelingen.

Vielen Kollegen war das höchst unangenehm: Die Kontinuumshypothese hatte sich als unabhängig von der gängigen Mathematik erwiesen, und das Kontinuum, von dem man schon geglaubt hatte, es fest in Händen zu halten, hatte ein Stück seiner alten Unabhängigkeit zurückgewonnen. War die Mathematik gescheitert?

Noch immer thronte über allem die Zahlengerade, der Zwitter aus Kontinuum und reellen Zahlen. Dabei hatte dieses Bild schon gebröckelt, als Cohen die Fields-Medaille bekam – nur hatte das niemand bemerkt.

Die Befreiung des Kontinuums

Bloß fünf Jahre vor Cohens Beweis, im Jahr 1958, hatten Curt Schmieden (1905 bis 1991) und Detlev Laugwitz (1932 bis 2000) neue Zahlen konstruiert – ohne Medaillen und Jubel. Und es gab 1961 auch nur ein leichtes Räuspern unter Kollegen, als Abraham Robinson (1918 bis 1974) auf indirektem, logischem Weg dieselben neuen Zahlen entdeckte. Dabei waren die „hyperreellen Zahlen“, wie sie genannt wurden, nicht weniger seltsam als die Ergebnisse von Gödel und Cohen: Die neuen Zahlen passten auf die Zahlengerade – zwischen die reellen Zahlen. Aber da war doch eigentlich gar kein Platz mehr …

Betrachtet man die 1 auf der Zahlengeraden durch eine gedankliche Lupe mit 100-, 1000- und 100 000-facher Vergrößerung, bietet sich stets dasselbe Bild: Man sieht die Zahlengerade und darauf den Punkt für die 1. Doch unter einem Gedanken-Mikroskop mit unendlicher Vergrößerung zeigt sich etwas Neues: Es scheint ein Punkt für 0,9999… vor dem Punkt für 1 aufzutauchen. Ist also 0,9999… kleiner als 1? Bis heute lernt man in der Schule: 0,9999…= 1 – oder, gleichbedeutend, 0,33333…=1/3.

0,9999… ist eine von den neuen Zahlen, die Robinson entdeckt und Schmieden und Laugwitz konstruiert hatten. Bis 1960 konnte man 0,9999… und 1 mathematisch nicht präzise unterscheiden, jetzt schon: Zu 0,9999… gehört ein Punkt unendlich nah bei 1. Unendlich viele neue Zahlen mischen sich auf diese Weise unter die reellen Zahlen. Und unendlich viele weitere kleine Zahlen liegen unendlich nah bei 0. Es gibt sogar unendlich große Zahlen.

Der Cholera-Bazillus

So neu die hyperreellen Zahlen erschienen – ganz taufrisch waren sie nicht. Intuitiv hatten bereits Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 bis 1716) und Leonhard Euler (1707 bis 1783) mit unendlich kleinen Zahlen gerechnet, doch dann waren die Winzlinge im 19. Jahrhundert vergessen worden – oder beschimpft: Cantor selbst hatte unendlich kleine Zahlen als „Cholera-Bazillus“ tituliert. Seit 50 Jahren haben sie ihren Platz auf der Zahlengeraden gefunden.

Ist dadurch eine neue Zahlengerade entstanden, etwas dichter bepackt und im Unendlichen verlängert? Nein: Auch die neuen Zahlen füllen die Gerade nicht komplett. Es lässt sich zeigen: Auf die Gerade passen weitere, im Verhältnis zu den unendlich kleinen Zahlen unendlich kleinere Zahlen – und dieser Prozess lässt sich unendlich lange fortsetzen. Die Zahlengerade, das Kontinuum, ist viel mehr als eine Menge von Punkten.

Zerfällt die Mathematik, diese vorbildliche Wissenschaft und Disziplin der Eindeutigkeit und Strenge, in zwei, drei oder viele Mathematiken? Herrschen mathematische Beliebigkeit, Unsicherheit, Geheimnisse und Unvermögen?

Eine gewisse Freiheit

Tatsächlich gibt es in der modernen Mathematik eine gewisse Freiheit. Man kann annehmen, dass es 1viele reelle Zahlen gibt – oder mehr. Man kann annehmen, dass man aus unendlich vielen Mengen Elemente auswählen kann – oder nicht. Es gibt grundlegend verschiedene Wege, die reellen Zahlen aus den natürlichen und rationalen Zahlen herzuleiten. Man sieht die reellen Zahlen als Kontinuum an, obwohl sie es andererseits gar nicht sind. Mehr noch: Das Kontinuum, der mathematische Hintergrund, lässt sich in gewissem Sinn gar nicht erfassen. Und zu alledem kann niemand wissen, ob die Mathematik überhaupt widerspruchsfrei ist.

Das Kontinuum, das man einst glaubte völlig begriffen zu haben, bleibt geheimnisvoll: Die reellen Zahlen sind nur ein Modell für etwas, das „lineares Kontinuum“ genannt wird. Das eigentliche Kontinuum ist wie eh und je das vielerseits vernommene, doch unverstandene Rauschen im Hintergrund. Die Zahlengerade – diese Melange aus Zahlen und Kontinuum, täglich in den Schulen an die Tafeln gemalt – existiert nur im Kopf. Sie ist nichts als eine Einbildung. ■

THOMAS BEDÜRFTIG (rechts) ist Mathematiker und Didaktiker an der Universität Hannover. ANDREAS LOOS verschafft sich an der FU Berlin einen endlichen Überblick über die unendliche Mathematik.

von Thomas Bedürftig und Andreas Loos

Kompakt

· Die Kontinuumshypothese von Georg Cantor war eine der großen Vermutungen der Mathematik im ausgehenden 19. Jahrhundert.

· Vor 75 und 50 Jahren wurde erkannt, dass man sie sowohl anerkennen als auch ablehnen kann. Je nachdem entsteht eine unterschiedliche Mathematik.

Mehr zum Thema

Lesen

Thomas Bedürftig, Roman Murawski Philosophie der Mathematik De Gruyter, Berlin 2012, 2. Aufl., € 79,95

Oliver Deiser Reelle Zahlen Springer, Berlin 2007, € 32,99

Fridtjof Toenniessen Das Geheimnis der transzendenten Zahlen Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2010, € 27,99

Internet

Online-Kurs über die Kontinuums- hypothese und die reellen Zahlen: www.mathe-online.at/mathint/zahlen/i.html mathematik-online.de/F113.htm

Informationen über die reellen Zahlen und die Konstruktion der Zahlenmengen: matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=651 www.matheplanet.com/matheplanet/ nuke/html/article.php?sid=1190

Das Auswahlaxiom

Grundsätzlich versucht man in der Mengenlehre mit unendlichen Mengen so umzugehen, wie man es intuitiv mit alltäg- lichen endlichen Mengen tut. Dazu gehört, dass man aus Mengen Elemente auswählen kann, ähnlich wie man sich aus einer Reihe von Töpfen bedient. Diese Vorstellung ist so einfach, dass es lange gedauert hat, bis klar wurde: Es ist beileibe nicht selbstverständlich, wenn man so etwas bei unendlich vielen Töpfen macht. Über diese Erkenntnis stolperte 1890 Giuseppe Peano (1858 bis 1932). Der italienische Logiker hatte das Auswählen als Prinzip entdeckt. Er formulierte das „Auswahlaxiom“: Sind beliebig viele unendliche Mengen vorgegeben, dann kann man aus jeder dieser Mengen genau ein Element auswählen und daraus eine neue Menge bilden. Das Auswahlaxiom ist ein eigenes Axiom, unabhängig von den Mengen-Axiomen, mit denen sich das Rechnen mit den Zahlen begründen lässt. Man kann daher Mathematik mit und ohne Auswahlaxiom betreiben – so wie auch mit und ohne Kontinuumshypothese. Die Unabhängigkeit dieses Axioms von der restlichen Mathematik haben Gödel und Cohen gemeinsam bewiesen. Eine verwirrende Konsequenz des Auswahlaxioms ist das Banach-Tarski-Paradoxon. 1924 „bastelten“ Stefan Banach (1892 bis 1945) und Alfred Tarski (1902 bis 1983) mithilfe dieses Axioms aus einer Kugel zwei Kugeln – mit genau dem gleichen Volumen.

Gödel gegen Cohen

Kurt Gödel und Paul Cohen erdachten beide ein Modell der Mathematik, das wie das kleine Modell einer riesigen, universalen Maschine wirkt. Anschließend gingen sie entgegengesetzte Wege: Gödel baute in seinem Modell ein „inneres Modell“ ein: Er verkleinerte sein Modell so, dass darin die Kontinuumshypothese zutraf. Folglich kann es dort keinen Widerspruch zwischen der Kontinuumshypothese und der bestehenden Mathematik geben. Cohen hingegen erweiterte das Modell und erzwang dabei die Negation der Kontinuumshypothese. Seine Methode wird daher auch „Forcing“ genannt. Deswegen lässt sich die Kontinuumshypothese nicht aus der Mathematik herleiten – sonst würden im erweiterten Modell die Kontinuumshypothese und zugleich ihre Negation funktionieren.

Die aufgewickelte Linie im Würfel

Sind in einem Würfel mehr Punkte als in einer Linie enthalten? Erstaunlicherweise nicht! 1890 veröffentlichte der Mathematiker David Hilbert (1862 bis 1943) seine Antwort auf diese Frage, indem er eine Idee seines Kollegen Giuseppe Peano (1858 bis 1932) verallgemeinerte: Man kann eine Linie so aufwickeln, dass sie einen Würfel komplett ausfüllt. Dazu nimmt man eine Ausgangsform, die etwa so aussieht wie das Rohrgestänge eines Freischwinger-Sessels. In jedem Konstruktionsschritt wird die bislang konstruierte Form acht Mal kopiert, in jeder Raumrichtung um den Faktor 1/2 verkleinert und anschließend jeweils so gedreht, dass die Anschlussstücke zusammengefügt werden können. Die Bilder zeigen den dritten und vierten Schritt. Beim unendlichsten Schritt ist der Würfel komplett mit einer unendlich verwickelten Kurve gefüllt. In gewissem Sinn ist es also dasselbe, ob man Punkte im Raum oder auf einer Linie betrachtet – das „lineare Kontinuum“ ist komplex genug!

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