Finanzmathematik – wie berechnen sich Zins und Zinseszins? - wissenschaft.de
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Gesellschaft+Psychologie

Finanzmathematik – wie berechnen sich Zins und Zinseszins?

Symbolbild Zinseszins
Mit dem Zinseszinseffekt wächst das angelegte Kapital schneller, weil es auf die Zinsen ebenfalls Zinsen gibt. (Bild: Pixabay.com, RoboAdvisor (CC0 Public Domain))

Die Zinsrechnung ist in der Finanzmathematik immer dann interessant, wenn es darum geht, Geld anzulegen oder einen Kredit aufzunehmen. Bei Geldanlagen geht es natürlich um den größten Profit, der sich aus einer Geldanlage erwirtschaften lässt. Bei Krediten ist der geringstmögliche Zins das Ziel. Allerdings spielen bei der Zinsberechnung, insbesondere bei der Berechnung des Effektivzinses, noch andere Faktoren eine wichtige Rolle.

Jahreszinsen berechnen

Um zu berechnen, wie viel Gewinn bei einer bestimmten Geldanlage zu erwarten ist, liegt meist folgende Zinsformel zugrunde:

Z = K * p%

Z steht dabei für die anfallenden Zinsen, K ist das aufgewendete Kapital und p% ist der Zinssatz für die Kapitalanlage. Die Formel ist recht einfach. Durch Einsetzen der Variablen lassen sich die Zinsen leicht berechnen. Das Kapital ist bekannt und den Zinssatz nennt die Bank. Für eine Beispielrechnung können folgende Zahlen zugrunde liegen: K = 1.000 Euro, p% = 3, daraus ergibt sich für p = 0,03.

Z = 1.000 * 0,03

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Z = 30 Euro

In einem Jahr gibt es also 30 Euro Zinsen für die angelegten 1.000 Euro.

Anders bei einem Kredit

Bei einem Kredit sieht das etwas anders aus. Zu den Zinsen kommen noch weitere Kosten hinzu, die zusammen den Effektivzins ergeben. Den Hauptanteil daran hat der Nominal- oder Sollzins. Dabei handelt es sich um eine Prozentangabe, die ausdrückt, wie hoch die Zinsen für ein Darlehen prozentual zur Darlehenssumme sind. Der Nominalzins ist meist gebunden und bleibt über die gesamte Kreditlaufzeit gleich. Variable Nominalzinsen ändern sich alle paar Monate. Zu diesem Zins kommen noch weitere Gebühren hinzu, die den Effektivzins bestimmen (vgl. bpb.de). Dazu gehören beispielsweise Gebühren für die Kontoführung, Provisionen oder Bereitstellungszinsen. Wer mehrere Kredite vergleicht, kann sich am Effektivzins orientieren, um das günstigste Angebot herauszufinden. Wer den Zinssatz weiß, kann sich mithilfe des Kreditrechners von creditmaxx.de genau ausrechnen, wie viele Zinsen über die gesamte Laufzeit tatsächlich zu zahlen sind.

Zinssätze, Zeiträume und Kapital berechnen

Die einzelnen Gleichungen in der Finanzmathematik lassen sich durch einfaches Umstellen so gestalten, dass jeder Wert der Formel berechnet werden kann, also zum Beispiel wie hoch der Zinssatz ist, wenn Kapital und Zinssatz bekannt sind. Bei Bedarf lässt sich auch genau berechnen, wie lange es dauert, bis eine bestimmte Zinsmenge mit der Geldanlage erarbeitet worden ist.

Um den Zinssatz zu berechnen, gilt folgende Formel:

p% = Z/K

Das Kapital berechnet sich aus:

K = Z/p%

Der Zeitraum berechnet sich aus:

m (Monate) = (Z*12)/(K*p%)

t (Tag) = (Z*360)/(K*p%)

Zinseszins berechnen

Die Zinsrechnung ist in der Finanzmathematik der einfache Teil. Komplexer wird es, wenn es darum geht Zinseszinsen zu berechnen. Eine Geldanlage ist in vielen Fällen eine langfristige Angelegenheit, meist von zehn oder 20 Jahren. Um hier die Zinsen zu berechnen, wäre es sehr aufwendig, immer mit der Jahreszinsformel zu rechnen und für jedes Jahr die Zinsformel neu zu berechnen. Dabei wäre immer das Ergebnis des Vorjahres plus das Kapital die Grundlage für die Berechnung des nächsten Jahres. Anleger wollen zudem nicht wissen, wie viel Geld sie in einer Periode von einem Jahr erwirtschaften. Ihnen ist wichtig, wie viel Geld am Ende des geplanten Zeitraums auf dem Konto ist. Die Formel dafür lautet folgendermaßen:

Ka = K*(1+p%)a

Bei dieser Formel ist Ka das Kapital, das nach a Jahren auf dem Konto liegt. K steht für das Kapital am Anfang und p% ist wieder der Zinssatz. a steht für die Laufzeit in Jahren.

Kreditkosten – andere Faktoren sind relevant

Wer einen Kredit beantragt, weiß schon im Vorhinein, dass damit Kosten verbunden sind. In welcher Höhe die Kreditkosten anfallen, hängt mit verschiedenen Faktoren zusammen. Wer beispielsweise einen Kredit von 10.000 Euro beantragt und einen Nominalzins von 5% bezahlt, muss 500 Euro bezahlen. Kommt noch eine Kontoführungsgebühr von 100 Euro hinzu, dann liegt der Effektivzins bei 6%.

Kann sich der Nominalzins verändern?

Wenn der Nominalzins bei einem Finanzinstitut hoch ist, wird das Darlehen deutlich teurer. Höhere Nominalzinsen lassen Kreditraten ansteigen. Folgende Werte können den Zinssatz beeinflussen:

Der Leitzins ist vorgegeben. Er gibt an, wie viel Geld die Bank bezahlt, um Geld von der EZB zu erhalten. Steigt der Leitzins, erhöhen sich automatisch die Nominalzinsen der Banken für die verschiedenen Finanzprodukte. Bei steigenden Leitzinsen ist es für die Geldinstitute vorteilhafter, die Geldmittel der Kunden zu verwenden. Sinkt jedoch der Leitzins, ist es für die Bank günstiger, sich Geld von der EZB zu leihen. Davon profitieren letztendlich die Kreditnehmer.

Was beeinflusst das individuelle Kreditangebot?

Laufzeit und Kreditsumme sind zwei wesentliche Faktoren, die das individuelle Kreditangebot beeinflussen. Finanzinstitute verlangen einen umso höheren Zins, je länger es dauert, bis der Kredit zurückgezahlt ist. Damit erhöhen sich die Kreditkosten. Das gilt auch bei der Kreditsumme. Je mehr Geld ein Kreditnehmer leiht, umso teurer wird es am Ende. Bei guter Bonität profitieren die Kunden von einem günstigeren Zinssatz. Denn die Bank geht dann davon aus, dass der Kunde seinen Kredit vollständig und pünktlich bezahlt. Für die Bank sinkt das Ausfallrisiko bei guter Bonität des Kunden.

Ist das Darlehen an einen bestimmten Verwendungszweck gekoppelt, gibt es meistens ebenfalls günstigere Zinsen. Ist das Darlehen für den Erwerb eines Fahrzeugs oder einer Immobilie gedacht, sind diese eine zusätzliche Sicherheit für die Bank. Das reduziert den Nominalzins und damit die Kreditkosten.

Faustformel für die Kreditkosten:

Kreditkosten = (Kreditsumme*Effektivzins)/100

Bei einem Darlehen von 10.000 Euro mit einem Effektivzins von drei Prozent ergeben sich Kreditkosten in Höhe von 300 Euro.

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